基于类比思维的高中数学解题方法研究

杨建仁

【摘要】通过两则类比数学题的分析、解答与点评，具体阐释了类比思维方法在高中数学解题中的应用.

【关键词】类比思维；高中数学

一、引 言

自从人教版的数学新课标教材在全国范围内广泛试用后，数学思维的拓展越来越成为高中数学教育的重点.数学思维是传统数学研究方式的深化，它蕴含了数学解题中的探索性思考方式，由于新课标的出现，数学思维在高中数学教育中也出现一定程度的更新.类比思维是高中数学教育中的一个重点，它是建立在探究性数学研究的基础上的，在数学教育中灌输给学生良好的类比思维方式，可以有效引导学生去观察数学事理中的异同点，有助于学生开展创造性研究，积极发现问题，并努力认识问题.通俗地讲，类比思维就是运用一定的逻辑思维，将两种事物进行比较，寻找事物之间存在的异同点，它可以使学生的思维得到拓展，不断调动学生学习数学知识的积极性，并提升学生的数学解题能力.

二、类比思维可以加强数学解题中对于新旧知识的对比

在高中数学题中，类比形式的题型约占所有题型的1/3之上，而有些题型虽然看似非类比式题型，但实际上也可以通过类比思维进行解答，而且运用类比思维的解题速度也可能会提高.运用类比思维解答高中数学题，一个重要的优势在于它可以加强学生将新知识与旧知识进行联系，这样便促进了数学教学内容的不断丰富和深化.在一堂内容丰富的数学课上，学生的创造性思维就会被激发出来，在不断巩固学生基础知识的基础上，可以在学生脑海里构筑自己的知识结构框架.

下面以一则数学实例对类比思维的这种优点做具体解释，数学实例的题材为数列.在数列题中，等差数列和等比数列之间无论是定义还是通项公式都非常相似，因此我们可以运用类比思维考查等差数列，从而探究等比数列的性质.

例1 假设数列{an}与{bn}都是无穷数列，问题如下：

（1）现设{an}与{bn}都是等比数列，通过两个数列的某种运算得到新数列{an + bn}，{anbn}，那么，这两个新数列是否也都是等比数列？如果是，分别求出它们的通项公式和前n项和的公式；如果不是，请说明理由.

（2）请类比（1），并根据等差数列提出有关命题，写出等差数列的前n项和的公式，用含有首项和公差的形式表示.

分析 （1）解答第一问，我们需从两个数列的公比入手，根据{an + bn}和{anbn}是否存在公比即可判定它们是否属于等比数列.在判定属于等比数列以后，我们也必然知道它们的公比，于是根据等比数列求和公式即可解得前n项和的公式.

（2）首先讨论两个新数列的性质，然后从等比数列的乘类比到等差数列的和，讨论其公差是否为零，从而求得等差数列的通项公式，于是前n项和公式便迎刃而解.

解 （1）设{an}和{bn}的公比分别为q1和q2，又设cn=an+bn，于是有cn2-cn+1cn-1=（a1q1n-1+b1q2n-1）2-（a1q1n+b1q2n）·（a1q1n-2+b1q2n-2）.

当q1=q2时，任对一个自然数n，且n大于等于2，cn2=cn+1·cn-1恒成立，因此有{an+bn}为等比数列，且其公比即为q1；

当q1=q2=1时，前n项和公式为Sn=n（a1+b1）；

当q1=q2≠1时，前n项和公式为Sn=（a1+b1）·（1-q1n）/（1-q1）.

但当q1不等于q2时，任对一个自然数n，且n大于等于2，有cn2不等于cn+1cn-1，因此{an+bn}不是等比数列.

又设dn=anbn，任对一个自然数n∈N+，有dn+1/dn=an+1bn+1/anbn=q1q2，所以数列{anbn}为等比数列，且公比为q1q2.

当q1q2=1时，前n项和公式为Sn=n（a1b1）；

当q1q2不等于1时，前n项和公式为Sn=a1b1·（1-q1nq2n）/（1-q1q2）.

（2）观察（1）中{an+bn}、{anbn}的公比性质，我们发现有乘积形式的数列{anbn}的公比为q1q2，即原数列的公比之积，而首项也是原数列首项之积；{an+bn}的首项为（a1+b1），当存在公比时，其公比恰好为原数列的公比.

设{an}和{bn}都是等差数列，其公差分别为d1，d2，于是推测：

Ⅰ.{an+bn}为等差数列，且公差为d1+d2，前n项和公式为Sn=（a1+b1）·n+n（n-1）（d1+d2）/2.

当d1，d2至少存在一个为零时，{anbn}也为等差数列，若d1=0，则Sn=a1b1n+n（n-1）·a1d2/2；若d2=0，则Sn=a1b1n+n（n-1）·b1d1/2.

Ⅱ.当d1，d2都为零时，{anbn}不是等差数列.

点评 例1主要考查了数列题的类比推理，其中主要涉及了等比数列与等差数列之间的性质转换，在类比推理的过程中，主要涉及等比数列类推到等差数列时关于公比和首项之间的推理对应，但总体而言，该题属于基础性类比推理题.

三、类比推理思维可以促进数学知识的条理化

数学是一个不断积累逻辑思维的过程，这要求学生将已学知识进行有条理地整合，促进学生对数学知识的理解并不局限于量的增加，而是质的提升.下面通过一则类比推理的例子，说明类比推理思维在促进数学知识条理化中的重要意义.

例2 如图所示，ABC-A1B1C1为一斜三棱柱，点P为ABC-A1B1C1其中一条侧棱BB1上的任意一点，过点P分别作垂线PM垂直于AA1，PN垂直于CC1，垂足分别为M，N，连接MN.

（1）证明：MN垂直于CC1；

（2）任给一个△DEF，存在如下余弦公式：DE2=DF2+EF2-2·DF·EF·cos∠DFE.现将此公式拓展到空间图形，类比平面三角形的余弦定理，推测斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并给出相应证明.

分析 （1）在斜三棱柱中，有CC1平行于BB1和AA1，欲证MN垂直于CC1，即CC1垂直于MN，我们可从CC1垂直于MN所在平面PMN入手，若CC1垂直平面PMN得证，则必有该题结论成立.

（2）该题的第二问主要考查平面中三角形的余弦定理在空间图形中的推广，其中联系的线索为余弦定理.在空间立体几何中，还考查了学生对二面角的熟悉程度和应用.这里的类比主要是从平面中的线类比到空间中的面，两条线的交角类比到空间两个面所成二面角.利用第一问的结论，对于余弦公式PM2=MN2+PN2-2·MN·PN·cos∠PNM，两边同乘以CC12即可得到斜三棱柱三个侧面的面积，于是得证.