数学式形结构的教学与能力的培养

李妙红

产生式迁移理论认为，先后两项技能学习产生迁移的原因是两项技能之间产生式的重叠，重叠越多，迁移量越大。产生式的相同或相似是迁移产生的最佳条件。而任何数学问题都会以一定的形式出现，它的结构模式可能与已知的公式及题型具有相同或相似的地方，这就为解决新的数学问题提供了有效的途径。因此在数学教学中通过揭示这种结构模式上的内在联系，加深学生对数学式形的认知，并通过这种认知的迁移，促进解题策略的迁移，从而提高学生的解决问题能力。

一、 公式型“数学式形结构”

由问题的结构形式与某些已知的公式相同或相似，联想到一个先前学过的结构更清晰的命题，从中找到解题的策略，培养学生的思维习惯和解决问题的能力。

例1.求函数y=■+■的最小值及相应x的值。

本题解法主要是要把求函数的最小值转化为求到两点的最小距离（过程略）。

由上面的例子可以看到，由于对两点间距离公式和点到直线的距离公式的结构的认知及这种认知的迁移，并利用数形结合把一道难于解决的问题转化为一个比较具体、直观且易于解决的问题，开阔了学生的解题思路，有利于学生解决问题能力的培养。

二、 特例型“数学式形结构”

通过分析一些特例的“数学式形结构”的更深层次的结构规律，并挖掘其结构的背景，使学生对问题的结构模式认知产生迁移，从而从一个特例的解法得到一类问题的解法，促进解题能力的提高。

例2.求和：■+■+■+…+■。

【解析】观察通项公式的特点，发现an=■=■-■。

∵■=■-■，∴原式=（1-■）+（■-■）+（■-■）+…+（■-■）=1-■=■。

上面的“裂项求和法”还可以推广到数列的通项型如：■=■-■；■=■-■；■=

■-■■=

■■-■等式形结构数列求和。

如此可见，我们通过深入分析一个特例的结构规律和解法，可以得出某一类的一般解法，实现了源于课本，高于课本，提高了学习效率，同时也提高了学生探索、发现及解决问题的能力。

三、创新型“数学式形结构”

1. 通过换元或构造。

根据数学式形结构特点引发联想，进行“换元”或构造，简化结构或构造新的数学模式，从中找到解题的策略，培养思维的独创性，有利于在更高层次上发展学生的能力。

例3.已知非零实数a、b、c满足a+b+c=abc，求证：■+■+■=4。

本题解法主要由已知条件a、b、c∈R且a+b+c=abc联想到ΔABC中tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC（A+B+C=π）入手（过程略）。

2. 通过归纳和引申。

通过对数学式形结构的归纳引申，发现规律性的结构，培养探究问题的能力和创造力。

例4. 给定数列Xn且Xn+1=■，求X2012-X1002的值.本题主要解法通过构造Xn=tanan，tan30°=■来将问题进行转化，从而将问题简单化（过程略）。

数学式形结构是很丰富的，学生对数学式形的认知、理解程度，从某种意义来说，反映出学生数学素养水平的高低。学生对于公式的理解和应用，对类似或相同结构命题解法的联想、迁移，对数学问题的归纳、引申，其直接的原因是对于数学式形结构的认知。因此，在平时的教学中，要重视式形结构的认知和应用的教学，充分挖掘教材的潜力，发现更多有利于发展学生能力的题材，促使学生全面素质的提高。

责任编辑徐国坚