例谈如何提高中学生的数学解题能力

颜一宽

波利亚说过，“中学教学的首要任务就是加强解题训练”“掌握数学就是意味着善于解题”。如何提高中学生的解题能力，关键通过解决数学问题，来逐步培养学生的解题能力和拓展学生的思维。

在数学教学中，要提高学生的解题能力，除了抓好基础知识、能力的学习与培养外，更重要的培养途径就是解题实践，下面将探讨如何培养学生的解题能力的措施。

1. 熟练掌握基础知识，为解题提供依据

数学上的定义、法则、公式、定理等，是解题的依据，教师在教学时应该加大重视的力度，要求学生做到烂熟于心的程度。在理解概念的基础上认识到问题的实质，加深学生理解的层次。

例如，讲“换元法”法时我们要帮助学生了解换元法的概念，认清换元的实质就是转化。

例1. 已知实数x，y满足：■-■=3，y4+y2=3，则■+y4的值为（）

A. 7 B. ■

C. ■ D. 5

思路分析：视■为一个整体不妨设为t（t>0）；视y2为一个整体不妨设为u（u>0），则■-■=3可化为t2-t-3=0解得t=■（t=■舍去）；y4+y2=3可化为u2+u-3=0解得u=■（u=■舍去），所以■+y4 =t2+u2=7，选A。

2. 养成认真审题、独立思考的习惯

仔细、认真地审题是解题的前提。因为审题为探索如何解题的途径提供了方向，培养学生的思维独立，是每一个数学老师恒久不变的教学原则，告诉学生坚持独立思考，独立做题，你的分析能力和解决问题的能力会得到迅猛提高。

例如我在教二次函数时将例2和例3放在一起，帮学生如何审题。

例2. 已知函数y=（k-3）x2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（）

A. k<4 B. k≤4

C. k<4且k≠3D. k≤4且k≠3

例3. 已知二次函数y=（k-3）x2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（）

A. k<4 B. k≤4

C. k<4且k≠3D. k≤4且k≠3

例2与例3虽只相差两个字，但例2所说的函数可能是一次函数，也可能是二次函数，而例3只可能是二次函数。例2、3答案分别为B、D。

3. 理顺解题思路，规范叙述解题的过程

当拿到数学题，不仅仅要求独立思考，还要在此基础上把数学问题解答过程严谨地叙述出来，这对学生来说不是件容易的事，有着较高的能力要求，即叙述要正确、合理、严密、简洁。一般来说，各种形式的数学习题都有一定的解答格式，无论哪种格式，叙述都应层次分明，条理清楚，表述要规范。

例4.已知关于x的方程■+■=■恰有一个实根，则满足条件的实数a的值。

思路分析：对于分式方程，我们要注意增根的问题。因此只有一个实根却要多次讨论和验证。

解：题中的等式可化为2x2-2x+（4-a）=0， （1）

当方程有两个相等的实数根时，Δ=4-4×2×（4-a）=0。

由此得a1=■，此时方程（1）有一个根x=■。验证可知x=■的确满足题中的等式。

当方程（1）有两个不相等的实数根时，Δ=4-4×2×（4-a）>0，由此得a>■。

若x=0是方程（1）的根，则原方程有增根x=0。代入（1）式解得a2=4>■。此时方程（1）的另一个根x=1，它的确也满足题中的等式。

若x=2是方程（1）的根，则原方程有增根x=2。代入（1）式解得a2=8>■。此时方程（1）的另一个根x=-1，它的确也满足题中的等式。

因此a1=■，a2=4，a2=8共有3个实数a满足题意。

4. 重视方法的传授，加强解题思维培养

教学中要特别重视基本数学方法的传授，这样才能从根本上提高学生解题思维水平。

例5.如图所示，C，D是以AB为直径的半圆上的三等分点，半径为R，求图中阴影部分面积.

思路分析：我们知道三角形、梯形等特殊图形的面积公式，对于不规则图形则要通过“割割补补”的办法变为上述特殊图形求解。本题我们可以通过S阴影=S扇形OAD- S弓形AC-SΔOAD和S弓形AC=S扇形OAC-SΔOAC求出。答案为■πR2。

5. 注重一题多解，促进学生思维的发散

在中学数学教学中，学生掌握知识、技能的水平，主要表现在解题上，尤其是一题多解，在数学解题中有着举足轻重的意义。它不仅能加强知识间的横向对比，而且是培养学生思维的灵活性，激发学生联想，推测和创新的方法之一。因此，经常善于一题多想，一题多解，能使学生思路开阔，思维灵活，能从不同角度分析问题，进而选择最佳方案解决问题，使学生选择运用知识的方法由零散呆板转向系统灵活，提高解题的速度和准确度。同时，还有助于激发学生学习数学的兴趣，极大限度地调动了学生思维的积极性。

例6.求函数y（x）=x+■（x>0）的值域。

我们可以用（1）判别式法，设y=x+■，则x2-yx+1=0，由Δ=y2-4≥0？圯y≥2。

当时y=2，x2-2x+1=0？圯x=1， 因此当x=1时，y（x）=x+■（x>0）有最小值2，即值域为[2，+∞。也可以用（2）单调性法；（3）配方法；（4）基本不等式法等等。

6. 勤于总结解题方法，加强解后反思

解题后的反思是提高解题能力的一种重要途径。所以，解数学题绝不能解一题丢一题，这样无助于解题能力提高，还会使学生养成不善于总结和反思的习惯。学生一旦养成反思的良好习惯，综合运用知识的能力不但大大增强，而且也会促进其它良好习惯的养成。

例7.如图， 某桥的桥拱是圆弧型，已知它的跨度BC为20■米，拱高AD为10米，求桥拱所在的圆的直径。（答案40米）

例8.如图，BC是⊙O的直径，A是弦BD延长线上一点，切线DE平分AC于E，求证：AC是⊙O的切线.（证明略）

上述这两个例题实际上是圆中常见的题型，考查点（重点）都是圆心、半径或是直径所对的角是直角及勾股定理的运用等。例7实际上就是考查RtΔOCD或是RtΔOBD；例8连结DC，考查∠BCD=∠ADC=90°。

中学生解题能力的提高是一个潜移默化的过程，是在亲自参与解题实践中不断提升的过程，教师在数学教学过程中应当注意结合自己班级的实际情况，“以人为本”，关注学生的实际学习情况，进行不断反思，从而有效地提高学生的数学解题能力。诚然，要提高学生的数学解题能力，关键在于教师平时的引导，使其形成良好的学习习惯，掌握科学有效的学习方法和养成良好的思维品质，数学的解题能力也将会在持久的努力中越来越高。

责任编辑徐国坚