“数学广角”教学纪实与评析

周惠 栾燕

教学内容：人教版小学数学三年级下册第九单元“数学广角——重叠问题”。

教学目标：

1.通过活动实例，初步渗透集合的思想方法，引导学生学会用韦恩图表示两个集合及它们的交集。

2.培养学生探索能力和会用集合思想解决实际问题的能力。

3.培养学生善于观察、善于思考，养成良好的学习习惯。

教学重、难点：理解集合图的各部分意义及解决简单问题的计算方法。

教学过程：

一、问题情境，导入新课

师：同学们，我们群力兆麟小学春季运动会即将召开了，这是我们班的报名单（出示名单），算一算，这两项比赛一共有多少人参加？

生1：15人。

生2：不对，有人重复报名了。

师：哪几人重复了？到底多少人参加比赛？

生3：3人重复，12人参加比赛。

师：刚才我们在观察报名单，研究参加比赛总人数时，有同学说15人，还有同学说12人，看来，问题的关键就在于这份报名单上没有将重复报名的3名同学清楚地表示出来。你们能不能想个更加直观的办法，让我们一目了然就能知道哪些是参加跑步比赛的同学，哪些是参加跳绳比赛的同学，哪些是两项比赛都参加的同学。（出示要求。）

二、自主探索，设计方案

师：为了便于你们研究，我们把名字按顺序依次排列换成序号，请同学们利用这些序号，结合要求，先自己静静地想一想，然后在小组内交流一下，最后把你们组公认的最佳方案写在题卡上。

三、各小组汇报设计方案

第一组：在重复报名的序号上标注记号。

师：利用标注记号的方法提示重复报名的同学，这种方法在生活中很常见。哪个小组也想到了这个办法？

第二小组：分类记录。第一行是跑步的，第二行是跳绳的，第三行是两项比赛都参加的。

师：将参加比赛的三种情况分类记录，挺清楚。哪个小组与他们的想法一样？

第三组：用韦恩图表示。第一个圈表示跑步的，第二个圈表示跳绳的，两圈交叉的部分表示两项都参加的。

师：这个方法很特别，怎么会想到这种方法，在哪里见过吗？哪个小组也用到了这个方法？

生：科学课上听老师介绍过。

师：你们真了不起，能够用自己积累的方法、经验解决问题。

四、交流各种方案

师：你们更喜欢哪一种方法呢？

生1：第三种方法把参加同类比赛的都圈在了同一个圈里，很清楚。

生2：第三种方法把重复报名的只写了一遍，更简便。

生3：第三种方法还能找到只参加跑步的同学和只参加跳绳的同学。

师：“参加跑步”和“只参加跑步”只有一字之差，有什么区别吗？

生：“只参加跑步”表示就参加一项，不参加其他项目，而“参加跑步”表示除了跑步比赛外，还有可能参加别的项目。

师：谢谢你们，敢于站在这里，把自己的想法与大家交流。下面我们就一起来看看你们比较喜欢的第三种方法。

演示：两圈向中间移动，交叉（如下图）。

五、了解韦恩图的各部分意义

师：注意观察，两圈交叉的部分2、4、6号表示什么意思？

生：既参加跑步比赛又参加跳绳比赛。

师：除此之外，在这幅图中，你还能找到其他信息吗？

生1：只参加跑步的1、3、5、7。

生2：只参加跳绳的8、9、10、11、12。

师：这幅图中，不同的位置表示着不同的意思，能快速说出涂色部分表示的意思吗？（分别出示5部分。）

师：知道这叫什么图吗？

生：韦恩图。

师：韦恩图，也叫集合图，是英国数学家韦恩在1881年发明并以他的名字命名的。

六、多种方法列式解决

师：我们已经学会利用韦恩图表示报名情况，并且也知道了有12人参加比赛，那么怎么通过列式的方法得出这12人呢？请你利用韦恩图，想想办法。

生1：“4+3+5”只参加跑步的加上两项比赛都参加的再加上只参加跳绳的求出总人数。

师：将完全不重复的三部分相加在一起可以求出总人数。

生2：“7-3+8”只参加跑步的再加上参加跳绳的所有人求出总人数。

生3：“8-3+7”只参加跳绳的再加上参加跑步的所有人求出总人数。

师：这两种方法在思路上有什么相同地方？

生：都是先求出只参加一项比赛的，然后加上参加另一项比赛的所有人。

生4：“7+8-3”用跑步的加上跳绳的再减去重复报名的。

师：为什么要减3？结合图示说一说。

师：你们真了不起，借助韦恩图从不同的角度思考，不但想出了这么多种方法，而且通过我们之间的交流，明白了每一种方法的意思。这类有重复现象的问题在数学中被称为重叠问题（板书课题）。

七、拓展应用

师：如果跑步5人，跳绳7人。猜一猜，可能有多少人参加比赛？

生1：12人。

生2：10人。

生3：9人。

师：老师这里有两张点子图，分别代表参加跑步和跳绳比赛的同学，能利用点子图将你们的想法演示出来吗？

（生演示各种情况。）

师：猜一猜最多几人，最少几人？分别是什么情况？

生：没有任何重复的情况下，最多12人；当参加跑步比赛的5名同学全部参加跳绳比赛时，最少7人（演示）。

师：在汇报的过程中，我们发现，除了表示重叠问题的这种集合图之外，还有这种表示没有重叠现象的集合图，以及这种一部分完全包含在另一部分中的集合图。（课件出示）

师：看，集合图多有趣啊，这里充满了奥秘，今后的学习中，我们还会学到更多相关的知识。

评析：

“数学广角”是人教版教材新增设的教学板块，核心任务是渗透数学思想方法，发展学生数学思维，使学生学会数学思考。本节课突出体现以下两点。

一、深入研究教材，实现两个突破性的再造和重组

1.改变教材中表格形式呈现名单

周老师没有像教材那样利用表格呈现名单，并且将重复的学生整齐排列在一起，而是采用打乱顺序的随机记录方式，这样更加符合生活实际，目的是让学生产生认知冲突，发现这份名单不能清晰地计算出一共有多少人参加比赛，从而产生重新设计报名单的需求。让学生经历自主思考问题、自主发现问题的过程，然后再开始重叠问题的探究之旅。

2.用序号替代了学生的姓名，渗透符号意识

重视符号意识的渗透，重视小学生抽象概括能力的培养，是新课程提出的一个重要任务。周老师引导学生用序号取代名字，并对序号进行分类，体会利用集合分类解决问题的过程。这里不仅渗透了符号意识，也为日后进一步优化韦恩图，直接用数字表示起到了重要的“桥梁”作用。

二、充分考虑学生的把握和接受程度，理解和提升的深度

1.努力拓展学生思维，让不同的学生在数学上得到不同的发展

教材仅仅提供“用两部分相加减去重复的部分”这样一种解决重叠问题的方法。而周老师充分发挥了集合图工具性的作用，引导学生借助集合图弄清了数量关系，寻找到多种解决问题的方法。在不同计算方法的交流中，真正感受到解决问题的多样性，学生各取所需，各有所得，各有所乐，真正让不同的学生在数学上得到不同的发展。

2.注重应用练习的综合性与严谨性

周老师设计了这样一道综合性、开放性、研究性十足的练习题，着实让人耳目一新。“跑步5人，跳绳7人”先让学生猜一猜两项比赛可能有几人？再让学生利用点子图，直观演示出不同的答案。那么在这开放的答案中，实际上就是逐渐在变化集合图，渗透并集、交集、子集的思想，丰富了学生对集合的进一步认识。而“最多几人，最少几人”这个问题又涉及了区间思想，使学生逐步学会思考问题的严谨性。最后，再通过整理演示，提升为字母表示，渗透模型思想。可以说这样的应用练习从简单到复杂，从收敛到开放，既链接了丰富的课程资源又实现了对数学思维的层层拓展，使学生在掌握知识的同时，受到思想方法的熏陶。