分类思想在数学教学中的渗透

董志明

分类思想是一种很重要的数学思想，贯穿于整个初中数学结构体系中。分类讨论的思想方法，就是对问题进行分类，逐一讨论满足条件的各类情况，达到问题的全面解决。它实质上就是按照数学对象的共同性和差异性，将其区分为不同种类的思想方法。其作用是克服思维的片面性，防止漏解。要做到成功分类，关键有两点：一是要有分类意识，善于从问题情景中抓住分类的对象；二是要斟酌问题的实际情况，找出科学合理的分类标准，这个标准应当遵循互斥、无漏、最简的原则。

数学思想的渗透是一个长期的缓慢的过程，最终是要让学生掌握它，并会用它解决问题。本文就初一数学中的分类思想作介绍。

一、概念教学中的分类思想的渗透

初一数学中引进入一些新的概念，而这些概念大都同分类思想联系在一起。

1.用分类的思想来定义某些概念。

有些概念本身就是分类思想的很好体现。例如：有理数的定义、整式的定义等。在有理数的概念理解上，一定要让学生通过分类的思想理解“有理数a”可能是一个正有理数、一个负有理数或零，而不能理解为有理数a一定是一个正有理数。又例如：单项式和多项式统称为整式。定义的本身就反映了整式可分为单项式和多项式，这既说明了研究整式就是研究单项式和多项式，又说明了整式同其他代数式（如分式、无理式等）的区别。

2.用分类的思想进一步挖掘概念的内涵。

对某些概念的理解，我们可以借助分类思想进行进一步探讨。例如：绝对值的概念、相反数的概念、角的概念等。在绝对值的概念教学过程中，我们先让学生理解一个数的绝对值就是这个数到原点的距离。例如3的绝对值就是在数轴上3这个点离开原点的距离，即3的绝对值等于3；-3的绝对值就是在数轴上-3这个点离开原点的距离，即-3的绝对值等于3；0的绝对值就是在数轴上0这个点离开原点的距离，即0的绝对值等于0。在此基础上，利用分类思想对数的绝对值进行分类：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值还是0。这样，学生对绝对值这个概念就有了全面、深刻的理解。再例如：在教学角的概念的过程中，学生在理解了角是由有公共端点的两条射线组成的图形后，对小于平角的角进行分类，按照度数的大小可分为：钝角、直角、锐角。理解了角分这三种情况，对后面理解三角形的分类起到了铺垫作用。

在概念教学中，运用分类的思想，按照一定的标准进行科学分类，对学生正确地理解这些概念起到了促进作用，同时也为后续知识的学习打下了良好的基础。

二、运用分类的思想整体感知知识

教材的编写基本上是按单元、章节进行编排的。在学完一个单元或一个章节以后，可以用分类的思想方法对本单元或本章节的知识进行概括性复习，这样既有利于学生更好地理解这些概念，又有利于学生掌握这些知识之间的区别和联系。例如在学完有理数的第一单元后，可以按正数、负数和零分别对有关概念进行总结，分清这些概念之间的联系与区别。

三、分类的思想在解题中的运用

1.分类的思想方法在代数中的应用

分类的思想方法在初中代数中的应用极其广泛，如实数的分类、代数式的分类、方程的分类、函数的分类、统计数据的分类等，总之，整个初中代数可看做是一个分类讨论系统，所以，分类的思想方法在代数方面的应用很广。在做这类题目时，要有分类意识，仔细分析遇到的问题是否需要分类，如何分类，标准是什么，分类时要熟悉问题所涉及的基本概念、性质、定义、法则、公式、定理等，把原问题既不重复又不遗漏地分解成几个较简单的问题，化整为零，各个击破，最终使原问题得以解决。

例1：（选择题）已知|X|=3，|Y|=2，且XY<0，则X+Y的值等于（ ）

A.5或-5 B.1或-1 C.5或1 D.-5或-1

分析：由XY<0得X，Y异号，可以分两种情况讨论：

①当X>0且Y<0时，X=3，Y=-2

得X+Y=3-2=1

②当X<0且Y>0时，X=-3，Y=2

得X+Y=-3+2=-1

所以X+Y的值是1或-1，故应选B。

说明：这道选择题，立意新颖，旨在通过分类思想方法考查基础知识，即只要有分类意识，掌握分类的方法，就可以不重复不遗漏地得到正确结论。

说明：本题考查绝对值的意义。在去绝对值时要分类讨论。

2.分类的思想在几何中的应用

分类思想方法在几何中的应用更广泛，如角的分类、三角形的分类、四边形的分类、两直线的位置关系的分类、点和圆的位置关系的分类、直线和圆的位置关系的分类、两圆的位置关系的分类等，特别是一些重要定理的证明，如圆周角定理、弦切角定理都充分体现了分类思想方法的应用。总之，平面几何的知识结构中贯穿了分类的思想方法，所以在几何题目中，常常出现考查分类思想方法的几何题，这类题的解题思路是：对具有位置关系的几何图形，要有分类讨论的意识，如圆周角的边长已知，求角时应考虑圆心与圆周角的位置关系；圆内两平行弦相对于圆心也应考虑其位置关系；两圆相交公共弦与两圆心的位置关系也应分类讨论，等腰三角形的顶角情况要分三种可能加以研究；两相似三角形的对应关系也有多种情况，等等。总之，在熟悉几何问题所需要的基础知识的前提下，正确应用分类的思想方法，恰当地选择分类标准是准确全面求解的根本保证。

例1：如图1中，直线上共有A、B、C、D、E五个点，问直线上共有多少条线段？

解：可按点的顺序考虑（即向一个方向），

以点A为一个端点的线段有4条，以B点为一个端点的线段有3条，以C点为一个端点的线段有2条，以D点为一个端点的线段有1条，所以图中共有4+3+2+1=10条线段。

说明：按分类讨论的方法来解数线段或数角的问题，可把对问题不重复、不遗漏地加以考虑，从而迅速正确地求解。

例2：已知线段AB=8cm，在直线AB上画线段BC，使它等于3cm，求线段AC的长。

分析：因为BC=3cm，而C点的位置有两种可能：点C在线段AB上和点C在线段AB的延长线上。这样就要分两种情况讨论。

解：若C点在AB上，则AC+BC=AB

而BC=3cm，AB=8cm

∴AC=5cm

若C点在AB延长线上，则AB+BC=AC

而AB=8cm，BC=3cm

∴AC=11cm

∴线段AC的长为5cm或11cm。

很多几何问题解决过程中都渗透了分类讨论的思想。通过分类讨论，既能使问题得到解决，又能使学生学会多角度、多方面地分析、解决问题。