巧用变式教学，构建自觉数学课堂

周洪琪

“变式”既是一种重要的思想方法，又是一种重要的教学策略。在日常数学教学中，我们可以适当地引入“变式”，不断地变更问题的情境或改变思维的角度，在保持事物的本质特征不变的情况下，使事物的非本质属性不断迁移和变化，让学生从“变化中学会变化”，对引导学生主动参与学习，积极思考，掌握“四基”，发展“四能”，形成良好的情感态度和数学素养等具有积极的作用。数学变式通常可分为概念性变式和过程性变式，下面我结合日常教学和观察，针对“变式教学”谈谈感悟。

一、通过概念性变式，加深对概念的多维理解

概念性变式包括概念变式和非概念变式两类，其中“变”的是概念的非本质属性，“不变”的是概念的本质属性，目的是让学生进一步体验概念形成的过程，经过抽象、概括、具体化，经历多维理解，使获得的概念更准确、稳定。

1.概念变式。其主要作用是通过概念外延的变化，使学生获得对概念的多角度理解。一个数学概念，不止一个本质属性，还有更多的非本质属性。如果学生能够从不同的角度理解概念，那么，其思维则显得非常活跃，并容易形成解题方法；反之，则思维迟钝，很难发现新问题的解法，或方法机械呆板。

【案例】在讲了“绝对值”（苏科版七年级上册第二章）的概念后，为了加深学生对绝对值概念的理解，我提供了如下变式题。

例题：判断下列语句是否正确？

（1）5的绝对值是5（ ）

（2） -5的绝对值是-5（ ）

（3）绝对值是5的数是5或-5（ ）

（4）一个数的绝对值不会是负数（ ）

启示：通过一系列的变式题，提供给学生从多个侧面、多个角度理解概念的机会，加深学生对“绝对值”的几何意义和代数意义的本质理解，提高学习实效。

2.非概念变式。概念教学的本质是使学生理解哪些是事物的本质特征，哪些是非本质特征，形成科学的概念认知。非概念变式即通过改变一些能混淆的概念的外延属性——举反例，使学生廓清概念的内涵和外延。

【案例】苏科版实验教科书九年级上册第五章中圆周角的概念是学生比较容易混淆的，教学时通过适当的非概念变式进行辨析（如下图），能使学生较轻松地掌握这一概念。

启示：这里，针对圆周角这一概念的内涵与外延设计了一组辨析型问题。学生通过对这些问题的讨论和解决，能够明确圆周角概念的本质，深化对圆周角的理解。因此，在概念形成后，不应急于让学生应用概念解决问题，而应引导学生对概念作进一步探讨，通过辨析变式和等价深化变式，使学生对概念有更深刻的理解，让学生既知其然，又知其所以然。

二、借助过程性变式，让学生获得多层次的数学活动经验

过程性变式和概念性变式有着本质的区别，前者的目的是提供逐步形成概念的过程，后者是为了从多种角度理解某一概念。在过程变式中，最具代表性的是表面特征变化的水平变式和结构变化的垂直变式。

1.水平变式。基本特征是：通常变更问题的背景（或图形的形状），在同一思维平台上解决一些同类问题，加深学生对解题策略的认知，积累经验。

【案例】苏科版七年级上册《§4.3用一元一次方程解决问题》教学片段

原问题：某商店今年销售A、B、C三种型号的电视机共340台，它们的销售数量之比是3﹕6﹕8，请问这三种型号的电视机各销售了多少台？

变式1：某商店今年销售A、B、C三种型号的电视机共340台，A型与B型的销量之比是1﹕2，B型与C型的销售量之比是3﹕4，请问这三种型号的电视机各销售了多少台？

变式2：某商店今年销售A、B、C三种型号的电视机共340台，其中B型的销量是A型的2倍，C型是B型的，请问这三种型号的电视机各销售了多少台？

变式3：某商店今年销售A、B、C三种型号的电视机共340台，A型与B型的销量之比是1﹕2，C型销售量是A、B两种型号销量之和的，请问这三种型号的电视机各销售了多少台？

变式4：某单位准备组织员工（含退休职工）参观在常州武进举办的第八届中国花卉博览会，根据该单位工作安排的需要，共购买了老年（60～69周岁老人）团队票、指定日普通票和平日普通票340张，其中老年团队票数是平日普通票数的，指定日普通票比老年团队票与平日普通票的和少100张，请问这三种票该单位各买了多少张？

启示：以上四个变式问题，是在原问题的某些条件不变的情况下，改变了另一些条件的给出方式，但解决问题的策略是相同的，思维上层次递进的趋势，但思维量是基本相当的（答案也都一样，分别为60，120和160）。其中变式4同时还更换了富有现实意义的背景（第八届花博会在学生家乡地举行），不仅激发了学生的学习兴趣，而且让学生获得了多题可以一解的感悟，更深化了学生对数学建模和解决问题的策略的深度认知，这样的“水平变式”极大地提高了学生的应变能力和思维的灵活性。

2.垂直变式。数学结构变化的垂直变式实际上是以“突破源问题”来体现的，即将源问题升华，其反映的是涉及问题本质的概念、关系与原则等“深层”特征。通过垂直变式，把原来的程序知识转化为策略知识，由表层学习向结构学习转化，逐步增加输出深层结构的学习结果，逐步增加对数学本质和深层次数学价值的体会，逐步增加由起点（例题）到终点（垂直变式问题）深层次的学习经历，使学生理解数学问题的本质关系。

【案例】问题：如图3，已知点P为线段AB、线段CD之间的一点，且AB∥CD，你能猜想出∠A、∠P（小于平角的角）和∠C之间的数量关系吗？并说明你的理由。

图3 图4

变式1：如图4，已知点P、Q、R为线段AB、线段CD之间的点，且AB∥CD，你能仿照例题的研究方法，猜想出∠A、∠P、∠Q、∠R和∠C之间的数量关系吗？并说明你的理由。

变式2：如图5，已知点P为线段AB外且异于线段CD一侧的一点，且AB∥CD，你能仿照例题的研究方法，猜想出∠A、∠P和∠C之间的数量关系吗？并说明你的理由。

变式3：如图6，已知直线AB∥CD，点E和点F分别在直线AB和直线CD上，点P是该平面内异于点E和点F的任意一点，试探求∠AEP、∠EPF、∠PFC之间的数量关系。只要求写出关系式，不要说明理由。

图5 图6

启示：给出原问题后，学生的思维是开阔的，策略是多样的，有的延长AP交CD于一点，利用两直线平行，内错角相等和三角形外角知识解决的（如图7）；有的过点P作AB的平行线（如图8和图9），随着对变式1的探究，学生自觉地体悟到用图9中类似的辅助线作法处理这里的变式问题是比较合适的。其中，变式3的思维量较大，是整个探究的制高点，根据“点P是该平面内异于点E和点F的任意一点”，要求对点P的位置进行分类讨论，即点P在直线AB的上方、在直线AB上、在直线AB和直线CD之间、在直线CD上和直线CD的下方，同时还要考虑点E、F、P三点是否共线及点P是位于直线EF的左侧还是右侧的问题，最后探究共可得13种符合题意的情形。这里，借助三个垂直变式，将学生的思维水平向高层次引领，促进学生对知识的深度理解，即最大限度地提高学生的数学素养，开阔学生的知识视野，让学生在探究知识的过程中发展创造意识和实践能力。

图7 图8 图9

变式教学将数学知识串成一条线，使得整个教学过程逐渐增加学生的认知负荷，逐步提高学生的数学能力。当然，在应用变式组织教学时，还必须考虑到适度、梯度和广度的问题，让“变式教学”最大限度地为教与学服务。

注释：

①孙旭花，黄毅英，林智中，张奠宙.问题变式：结构与功能的统一.课程·教材·教法，2006（5）.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准[M].北京：北京师范大学出版社，2011.

[2]潘建明.解读自觉数学课堂[M].南京：江苏教育出版社，2012.