线性代数课程教学质量之探讨

曾友芳

[摘 要]本文在阐述线性代数课程在大学教育中的重要性之后，探讨了在教学过程中如何提高教学质量的问题。从备课、课堂教学、课后跟踪到考前模拟，每个环节都根据实际情况制定相应的实施方案，任课老师因材施教，因学生而异进行管理和辅导，跟踪学生的学习效果，从而使学生获得真才实学的内在质量提升和期考好成绩乃至能将所学应用于实际的外在效果。

[关键词]线性代数 教学质量 因材施教

[中图分类号] G421 [文献标识码] A [文章编号] 2095-3437（2013）08-0073-03

线性代数是高等院校大部分专业必修的一门公共数学课程，其应用范围广泛，如微分方程、运筹学与控制论等数学分支，计算机图形学、计算机辅助设计、密码学等技术，无不以线性代数为其理论研究和算法设计的一个重要基础组成部分。在电气、土木、金融等领域，很多实际问题的数学模型是含有多个变量多个约束的优化问题，而求解这些问题就必须有线性代数的基础，才能理解相关的更深理论，如线性规划、非线性规划等的算法和理论，最终利用计算机依据算法编程来求解相应的数学模型，以此得到最优解。

美国著名数学教育家、美国国家“线性代数课程研究小组”的核心成员、线性代数课程现代化的主要倡导者David C.Lay 教授在其著作《线性代数及其应用》中述及：“这门课程是最有趣、最有价值的大学数学课程。事实上，一些学生在毕业以后告诉我他们在大公司的工作中或工程研究生院的学习中还使用本教材作为参考书。”[1]诚如其所言，不少研究生在专业研究中将以线性代数的知识作为基础工具，如果没有本科学习时打下的扎实基础，要想使用其以提升自己的论文质量和研究成果，甚至只是进一步的学习，那么这将是制约发展的瓶颈。比如最优化中的线性规划[2]，就以线性代数知识为基础，而金融[3]、工程[4，5]等许多领域的应用中要用到最优化的知识，这样基础中的基础问题——扎实掌握线性代数知识，其重要性不言而喻。

然而，另一方面，线性代数具有高度的抽象性和严密的逻辑性，概念多， 定理多，易混淆， 计算繁琐，这使许多学生认为线性代数是一门抽象难懂的课程，不易掌握，望而却步，但其广泛的应用性却激起了学生们强烈的学习需求，如何解决这个矛盾是教师一直在思考的问题。笔者在高校任教，经过教学实践，不断改革探索，教学质量稳步提高。在此和同行探讨这一问题，以求进步。

一、备课面广泛且要因材施教

备课不仅要备教材内容，而且还要根据学生学习情况和需要准备相关的改进提高措施。以同济大学《线性代数》第五版的教材为例，一般授课的主要内容是第一到第五章，即行列式、矩阵及其运算、矩阵的初等变换与线性方程组、向量组的线性相关性和相似矩阵及二次型，课时为45节，每节40分钟，按这个时间来安排好教学是比较紧张的。“如何安排好全程教学、提高教学质量、达到优质的教学效果？”就是一个摆在任课教师面前的重要问题。

俗话说：台上一分钟，台下十年功。老师要想教好学生，给每个学生一碗水，自己就得有一桶水，所以老师就要在备课阶段下足工夫。首先，研究教材，了解重难点，还有整个授课内容的框架和内在脉络，这些都要了如指掌，为透彻理解这些理论及其应用，建议多读国内外经典教材和教辅书，如参考文献[1]等。其次，为丰富教学内容，提高学生学习兴趣，学习对课堂整体把握的技巧等，广泛阅读教改论文，尤其是近几年的论文，了解关于线性代数课程的现状、发展和局限，学习同行如何提高学生的学习兴趣[6]，如何在课堂上渗透数学思想以提高学生的数学素养[7]等。再次，查看国外著名的大学公开课线性代数的教学视频，国内精品课程网站，认真学习名师的网上课堂，通过对教学大纲的了解和比较，调整原来的重难点，平时抽空走进教学名师的课堂，亲身感受名师风采，总结差距，调整自己的授课布局和方法。最后，综合考虑本学期授课学生的专业特点，汲取网上课件制作中的精华，调整修改制作课件。

二、提高课堂质量

每次上新课前，先将上次课讲授的重难点让学生回顾一下，看看还有哪些学生没理解掌握的，加以引导，尤其是主线脉络，顺此理清，承上才好启下。讲授新课前先说明需讲授的要点分别是哪几点，这几点的关系等，然后再逐一展开。因为线性代数的概念和知识点较多，所以讲授过程中分段总结很重要，某个知识点要么在引例中看其用处，要么讲完后通过应用或故事说明它的用处或将在哪些方面应用，以拓展学生的思路和知识面，并提高学生的学习兴趣，等用到的时候又再强调回顾。

同时，知识点间的联系与比较都可以反复进行，比如矩阵和行列式的不同与相似，概念和记号不同，但行列式的某些性质和矩阵的初等变换有类似之处，启发学生“如何通过比较巧妙记忆”；在判断齐次线性方程组是否有非零解时，一般将系数矩阵化成阶梯形后，根据矩阵秩与方程组中含有未知数个数的比较来判断，但当系数矩阵是低阶或易于计算其行列式的方阵时，简单计算系数行列式，由其为零即可知此齐次线性方程组有非零解。学习新知的过程就是反复复习的过程，以此减轻学生的课后学习负担，同时也可以检测学生对已学内容的掌握情况，如此推进，学生在这个过程中就可以把知识脉络框架建立起来，从而熟悉自己的课本，熟悉所学内容，做练习才得心应手，并且印象深刻，等到后续课程需要这些知识时，可以很快地回忆起来而应用于实践。

三、课后追踪练习情况

每次课后，让学生做与授课知识点相关的练习，原则上学习完一章就进行单元测验，题型主要可分为填空题、选择题、判断题、计算题和证明题。填空题考核学生对基础知识的掌握；选择题考查学生灵活应用知识的能力；判断题考核学生对概念、定理、性质等理论的掌握和辨析能力；计算题考核学生的计算能力和综合能力，证明题考核学生对一些重要定理的认知和应用能力。一般设置单元测验的时间是40分钟，即1小节课，可随堂测验也可另作安排。测验后仔细批改，记录常见错误的情况，如某道计算题，学生常见的错误有几处，每处是哪些情况。讲评时重在正面讲授，讲清关键点和思路、做题步骤、错误情况等。以教学过程中遇到的由两个专业班级合成的教学班为例，每次列表比较班级的考分情况，如下表1：

这对激起学生的学习斗志有催化剂般的作用。通过这样的比较，每次两个班都在暗暗较量，并且每个学生经过讲评和更正都知道自己的改进方向，待到期考，大部分同学都有明显的进步，甚至原来测验落后的班级会取得突出的成绩，比如，这里的（2）班，期考35人中仅有1人卷面分（满100）不及格（56分），但（1）班因一直占优势，没有居安思危，所以还有3位学生不及格。

另外，适时的在课后安排几次辅导答疑时间，可要求学习有一定困难的学生参加，其他学生不做要求。重点抽查学生完成作业及批改后的作业、测验改错情况，看看他们对错题是否理解清楚、是否更正。再则询问他们对知识点是否掌握，可通过让他们讲述典型例题的方法了解他们的思路是否正确清晰。之所以要如此细致追踪，是因为当前的大学新生刚由中学转入，有些还是很依赖老师的管束，不够自觉，尽管老师可以在课堂的教学中一再说明要自主学习，但部分学生自制力还待逐步提高，还需要老师的适时帮助，否则这部分学生将会跟基础好及主动性强的学生拉开更大的差距，到期考前临阵磨枪就肯定来不及了。

四、考前总复习

期考前，也就是最后一次课，一般会对课程进行总复习，此时再强调，课本内容为主，其他练习为辅。通过练习真正理解课本的理论知识，而不是本末倒置，只顾练习而不重课本理论，练得一题算一题，不知道总结也不知道课本的重心在哪儿。可以分章节讲重点，弄清每章的综合计算题方向，因为大部分重难点都集中在这些题中考核，比如：求解矩阵方程，就考核了矩阵的逆的存在和计算，矩阵的加法、减法和乘法的运算，以及因矩阵乘法的交换律不一定成立而需考虑的左乘右乘问题等。再如，将二次型用正交变换法化为标准形，就涉及二次型对应的矩阵的特征值和特征向量的问题，而求解特征向量又是一个个解线性方程组的过程，其间还有将特征向量正交单位化的处理。由此层层分析后，特别强调其中的一个基础计算——将一个矩阵化成阶梯形和最简形的计算——一定要过关，否则后续大部分计算题将无法完成，因为它们都以此计算为关键的一步。

经过整个环节的把握，只要学生不是刻意不学，一般来说都能顺利通过期末考试，半数左右的学生可以通过自身的加倍努力取得80分以上的优良成绩，以笔者近一年两个学期所带的非数学专业班级参加全校统考（考教分离）成绩结果为例，如表2可以看到改进后的较精细化教学方法带来教学质量稳步提升的效果。

[ 参 考 文 献 ]

[1] David C.Lay 著，刘深泉等译. 线性代数及其应用（原书第3版）——华章数学译丛[M].北京：机械工业出版社，2005.

[2] Mokhtar S.Bazaraa，John J.Jarvis and Hanif D.Sherali. Lin？鄄ear Programming and Network Flows（the Fourth Edition）[M]. Canada：John Wiley & Sons Canada，2010.

[3] 宋威. 金融数学模型[M].广州：华南理工大学出版社，2005.

[4] 郑国强，鲍海，陈树勇. 基于近似线性规划的风电场穿透功率极限优化的改进算法[J]. 中国电机工程学报，2004：68-71.

[5] 耿红，王泽民.基于灰色线性规划的土地利用结构优化研究[J]. 武汉：武汉测绘科技大学学报，2000，25（2）：167-171，182.

[责任编辑：左 芸]