马尔可夫链在移动通信中的应用
2013-04-29张军霞石倩
张军霞 石倩
一、随机过程发展简述
在当今社会的广阔天地里，人们可以看到一种叫作随机过程的数学模型：一些看似毫无规律的偶然现象经过随机理论的研究发现竟然有章可寻，从银河亮度的起伏到星系空间的物质分布、从分子的布朗运动到原子的蜕变过程，从化学反应动力学到电话通讯理论、从谣言的传播到传染病的流行、从市场预测到密码破译，随机过程理论及其应用几乎无所不在。
马尔可夫经多次观察试验发现，一个系统的状态转换过程中第n次转换获得的状态常决定于前一次（第n-1次）试验的结果。目前，马尔可夫链理论与方法已经被广泛应用于自然科学、工程技术和公用事业中。
二、马尔可夫过程发展
2.1 马尔可夫过程简介
马尔科夫过程（MarKov Process）是一个典型的随机过程。设X（t）是一随机过程，当过程在时刻t0所处的状态为已知时，时刻t（t>t0）所处的状态与过程在t0时刻之前的状态无关，这个特性成为无后效性。无后效的随机过程称为马尔科夫过程。
2.2 马尔可夫链的定义
[定义] 设有随机过程 { Xn，n∈T }， 若对于任意的整数n∈T 和任意的 i0，i1，…，in+1∈I，其中：
T={0，1，2…}为离散的时间集合，
I ={i0，i1，…，in+1 }为Xn 所有可能取值的全体组成的状态变量
P{Xn+1=in+1|X0=i0，X1=i1，Xn=in}
P{Xn+1=in+1|Xn=in}
若条件概率满足
则称 { Xn，n∈T } 为马尔可夫链，简称马氏链。
经过推导所知，Markov链的统计特性完全由条件概率P{Xn+1=in+1|Xn=in}决定，所以确定条件概率及如何利用是Markov链重点解决的问题。
2.3 马尔可夫链的算法
2.3.1 转移概率
·马尔可夫链 { Xn，n∈T }在时刻n的一步转移概率为P{Xn+1=in+1|Xn=in}，i，j∈I所以pij（n）与时刻n有关
·当转移概率pij（n）与时刻n无关时，则称马尔可夫链是齐次的，并记为pij（n）为pij
·设P为一步转移概率pij组成的矩阵，称为一步转移概率矩阵P=p
p
…
p …
p
p
…
p …
… … … … …
该矩阵满足：
（1）pij≥0，i，j∈I
（2）pij=1，i∈I
2.3.2 n步转移概率
·[定义]称条件概率
·p=P{Xm+n=j|Xm=i}，（i，j∈I，m≥0，n≥1）为马尔可夫链 { Xn，n∈T }的n步转移概率，并称P=
p
为马尔可夫链的n步转移概率。
·同样有
（1）pij≥0，i，j∈I
（2）pij=1，i∈I
特别的
p=0 i≠j
1 i=j
2.3.3 推论1—C-K方程
·[定义]设 { Xn，n∈T }为马尔可夫链，则对于任意整数n≥0，0≤l p=pp称为C-K方程 2.3.4 推论2 p=… pp…p 2.3.5 推论3 P=P·P 2.3.6 推论4 P=P 三、马尔可夫过程在移动通信中的应用 马尔可夫随机过程的发展史说明了理论与实际之间的密切关系，其研究方向的提出是有其实际背景的。当这个方向被深入研究后，可指导实践，进一步扩大和深化应用范围。以移动网为例，对马尔可夫过程进行应用简单应用如下： 1996年ITU制订了一种语音质量的主观评测标准MOS（Mean Opinion Score）测试，将用户接听和感知语音质量的行为进行调研和量化，由不同的调查用户分别对原始标准语音和经过无线网传播后的衰退声音进行主观感受对比，评出MOS分值，实际网络测试中，一般市区内MOS值达到3以上的时候，就表明网络质量处于较好的水平。现对某无线网络进行等时间间隔的观测，发现当级别为优后即以概率1保证维持在优，当级别为劣后即以概率1保证维持在劣，在其他级别分别以概率1/3向上一个级别迁移、维持当前级别、向下一个级别迁移。设每个观测间隔为一步转移，可利用马尔可夫链的知识对该问题进行分析。 根据上述描述可以求得马尔可夫链的一步转移概率矩阵为 根据其一步转移矩阵可得出其二步转移概率矩阵，假设该无线网络当前时刻的语音级别为中，可以计算出经过二步转移后级别还为中的概率。 二步转移概率矩阵如下： 若该无线网络当前时刻的语音级别为中，则经过二步转移后级别还为中的概率是1/3。 计算任意阶转移矩阵，发现任意阶转移矩阵中总有零元存在，所以没有平稳分布。 四、与马尔可夫过程相关的历史事件 （1）1997年提出在因果马尔科夫条件下，可以由网络的条件独立和条件相关关系推断因果关系。（2）夸（Qllah）于 1993年采用马尔科夫涟模型 对欧洲经济的发展作了进一步分析，认为以前传统的经验方法对研究收敛性有时可能有 误导作用。（3）1991年Cohen等采用高斯一马尔科夫随机场（GMRF）纹理模型对织物疵点的检测进行了研究，从正常纹理中提取模型参数，再通过统计假设检验判别疵点。（4）1990年撰写“马尔科夫链预测技术的应用”等论文 1992年之后撰写成“现代控制理论在森林资源动态预测中的应用”和“森林资源动态系统Kalman滤波”等文章。（5）1973年Dudley“和Burt把动态规划应用于灌溉水库的管理上，利用马尔科夫链的转移概率对递推动态方程加权。（6）直到 1971年 Hammersly等提出H C定理 从理论上证明了马尔科夫性与吉布斯分布等价性以吉布斯为代表的随机场理论才得到空前发展与运用。7（）1948年，Shannon首先证明遍历齐次马尔科夫链的极限是存在的；1957年，Briemann证明了平稳遍历的马尔科夫链的极限是存在的。（8）1940年克拉默斯（Kramers）将裂变过程看作复合核内部的各种可能的分裂碎片的无规运动行为，但不是完全随机行为，而是仅保持对前一步记忆的马尔科夫无规运动，例如布朗运动。
