新课程数学教学中必须加强发散思维的培养

杨福能

《高中数学课程标准》的一个理念就是：学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，还应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式。这些方式使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程。美国心理学家吉尔福特说过：“人的创造力主要依靠发散思维，它是创造思维的主要成分。”徐利治教授则说：“数学的新思想、新概念和新方法往往来源于发散思维。”发散思维是多角度、多方位思考，寻求变异，探索多种解决问题的方案或新途径的思维形式，具有流畅性、变通性、独特性等特点。中学生具有好奇、好胜、敢想、敢创等心理特点，他们的思维具有创新求异的潜质，教师应充分发掘中学生心理特点的优势，在教学中精心培养学生发散思维能力。

一、构建“数学认知结构”，培养思维“流畅性”

在教师用书的首页说明中，新课程倡导教师通过不同数学内容的联系与启发，强调类比、推广、特殊化、化归等思想方法的应用，认知心理学关于学习机制的最新研究成果揭示了学习主动性的本质是认识主体的主动建构。注重创设有利于学生自己领悟、建构、能引起认知冲突的问题情景，以使学生在原有知识基础（已知区）和所要完成的学习目标（未知区）之间搭建支架（最近发展区），形成由浅入深的台阶（知识增长点），便于新知识的内悟、同化或顺应。

案例1 在《等比数列》教学中，借用选修2-2中《合情推理》，通过定义内涵的类比、外延类比，通过公式（通项公式及其推导方法、前n项和）的结构类比，运用知识的解法类比等等，在类比和自主选择中学习、理解、掌握等比数列的有关知识。教学中要给学生提供展示的机会，鼓励猜想，并加以引导，充分保护那份可贵的好奇心，同时还要给学生自由的讨论机会，进一步解决问题。

思维流畅性与思维逻辑性直接相关，在教学中既要注意使知识在层次上不断深化，更要注意把新知识及时纳入已有的知识体系，做到善于把问题转换化归，善于使用数学模式，勉励学生在大脑记忆中构建“数学认知结构”，形成一个条理化、网络化的系统。在解题时就能由题目所提供的要素，在系统的网络中较快地检索到有关信息，寻找到较准确的解题途径，优化解题过程。例如，求函数的值域（或最值问题）应帮助学生归纳出如下数学思想方法：求导法、配方法、利用单调性、基本不等式法、数形结合法、换元法等。这样，学生在解有关值域（最值）问题时，就不会像“玻璃窗上苍蝇——乱碰乱闯”，达到心智活动畅通少阻，灵敏迅速。

案例2 已知y=（log2x-1）log2ab-6log2x logab+ log2x+1

（a>0 且a ≠1，a为常数），当x在区间[1，2]内任意取值时，y的值恒为正，求b的取值范围。

本题的情景陌生，变元较多，很难找到切入口，许多学生只能望题兴叹，如果令log2x=t，则问题就转化为“关于t的一次函数或常函数f（t）= （ log2ab-6 logab+1）t+1- log2ab在[0，1]上的值恒正，求b的取值范围。”这是同学们十分熟悉的基本题型。

二、学生学会多方位思考，培养思维的“变通性”

榜样的示范作用对发散思维的训练是不容忽视的。如在《等差数列求和公式》的教学中，数学家高斯10岁时他的数学老师为了回家关煤气炉，出“1+2+3+…+100”这道题，高斯认为老师应该不是要学生从头加，他就倒过来加，感觉是一样算法，利用数学的对称美发现了快速的计算方法。让学生感受要从不同的角度寻找解题的突破口。

不少学生总习惯于搬用已有的经验，机械模仿，表现出思维的依赖性、呆板性。为了帮助学生克服思维定势的负迁移，笔者采取如下对策：（1）有意巧设“陷阱”，让学生在“掉井”后惊呼上当。如判断y=x2，x∈[-1，2]的奇偶性？（2）变换提问方式，创造新颖设问方式，例如，“m为何实数时，不等式x2-mx+1>0的解集为R？”可变换提问为：“当m为何实数时，y=x2-mx+1与x轴无交点？”或“当m为何实数时，函数y=x2-mx+1无零点？”（3）改进教法，激发学生创新意识。通过这种有意识的加强训练，提高学生随机应变能力，培养了学生发散思维的变通性。

在教学中，教师若能抓住一切有利时机，精心设计一些旨在发展学生发散性思维的多解性（一题多解）例题，经常有意识地启发引导学生从不同的方向，变换思维角度进行广泛探索与求解，这不仅有利于培养学生“变通性”思维的能力，而且对提高学生的创新意识也是大有裨益的。

案例3 已知圆的方程：x2+y2=4，求过点A（1， ）的切线方程

法一：待定系数法 可设所求切线方程为：y-=k（x-1）代数法，方程组的解得问题；

法二：依题意可设所求切线方程为：y-=k（x-1） 几何法 利用d=r

法三 ∵kOA==

OA⊥l借助平面几何圆的性质，数形结合。

三、在探究活动中，培养思维的“独特性”

数学探究有机地渗透在每个模块教学和习题设置中，如何利用教材设置的数学问题，引导学生进行有价值的数学探究？在例、习题教学中，在学生掌握基本方法的同时，应在学生思维的“最近发展区”内，有意识地创设新的思维情境，激励学生不依常规、不受教材与教师传授的方法的束缚，引导学生多角度、全方位地思考问题，鼓励学生标新立异、探究新解，达到锻炼学生思维创造的目的，切实改进学生的学习方式。同时以“变”的魅力来深深地吸引他们的好奇心、好胜心，促使学生爱好数学。

案例4 《人教A版必修2 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系》中的例2教学中，（1）若把条件改为：E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的点，且===≠1，那么四边形EFGH是什么图形？为什么？（2）在例2中，如果再加上条件AC=BD，那么四边形EFGH是什么图形？探究活动（1）是对它横向的拓宽，

探究活动（2）是对它纵向的深入，将条件再改为“=，=”弱化了一个条件后，结论又如何？而条件“AC=BD”的加入，四边形的形状又有了质的变化，若加入“AC⊥BD”又会怎么样。这一探究活动，学生体验了数学知识的千变万化，通过横向的拓宽和纵向的深入，设常量为变量拓展问题；弱化或强化条件与结论，揭示出它与某类问题的联系与区别，并变更出新的命题。这样，无论从内容的发散，还是解题思维的深入，都让学生体验到如何将数学知识进行变更，在解决相关问题时也能得心应手。对学生在探究活动中表现出来的新异独特的思考方法和解题思路要表示极大的赞赏，并不失时机地激励学生把学习探究变成自己求知的一大乐趣。

在教学中要善于抓住发散思维、学生心理、新教材三方面特点的契合点，精心设计一个个较好的发散思维情景，创造一个个利于培养学生发散思维的机会，不断拓展发散思维的空间，及时鼓励赞美学生，激发学习兴趣，敢于打破思维定势的框套，为创新能力打好基础。