重视向量的应用培养学生的创新力

2013-04-29苏荣章

职业·下旬 2013年8期

苏荣章

摘要：向量是数学的重要内容。本文就重视向量的教学与应用，提高学生的思维品质和创新力，提出了自己的观点。

关键词：数学向量应用创新力

向量在数学里有着重要的作用，它与解析几何、立体几何、三角函数等内容有着紧密的联系和广泛的应用，因此，我们要重视向量的教学。向量的数学概念典型地体现了数、形结合的思想，沟通了代数、立体几何、三角函数的联系，它在物理力学和电学有着广泛的应用。以它为工具，将给学生解题带来便捷，同时有利于把学生引入多彩绚丽的数学世界。

一、向量在求轨迹中的应用

向量既有大小，又有方向，向量和解析几何都涉及坐标的表示和坐标运算，两者可以很自然地结合。轨迹方程对职高学生来说是一个重点，也是难点。一是轨迹由动点形成，点在动，坐标在相应变化，学生理解不了；二是运算量大，方程复杂。如果以解析几何为载体，向量为工具，数形结合，会大大简化过程。直线、圆锥曲线的两种定义都可用向量的模，及数量积的几何意义等来表示，能加深学生对抽象概念的理解，培养学生的联想能力，克服知识模块化、解题程式化、思维僵硬化。

例1：如图1，已知两点A（-2，0），B（2，0），点P为坐标平面内一动点，满足，求动点P的轨迹方程。

解法1：设动点P（x，y），由A（-2，0），B（2，0），=4，得=（x+2，y），=（x-2，y）由，得，化简整理得y2=-8x，所以点P的轨迹为抛物线，其方程为y2=-8x。

解法2：由，得，（表示在上的射影的相反数，演示讲解一下学生就会明白）。

所以，动点P到定直线的距离与到定直线x=2的距离比为1，根据定义，动点P的轨迹是以A（-2，0）为焦点，以直线x=2为准线的抛物线，其方程为y2=-8x，对于解法2，这些职高学生或一时难以接受，因为学生往往受到知识和各种框框的限制，思维保守，遇到问题依靠老师。因此，只要老师敢于引入，数形结合加以启导，学生就能获益，解法2减少运算量，而且开拓视野，克服保守状态，对向量的模，及其数量积的几何意义、射影定理、抛物线等会有更深刻的理解。

二、向量在求函数值域或最值中的应用

向量有着丰富的实际背景，在求函数的最值或变量的取值范围中，若能巧妙构造，转化为简单的向量问题，就能使问题的解决方法简化。巧妙地引发求知，使学生产生积极创造力。

例2：求函数的最小值。

解：设

则

∵

∴

当且仅当反向时，等号成立

，得x=-，∴f（x）的最小值是-8。

本题的关键是利用x与的平方和为常数，巧构向量，应用研究数量积和模的定义来求解。我们都清楚：

（1）

（2）

（3）

利用这些结论，也可作为求函数最大值∈或值域的依据。

例3：已知x2+y2=3，a2+b2=4，x，y，a，b∈R，求ax+by的取值范围。

由于x2+y2=3，a2+b2=4，联想到向量模的平方形式，由ax+by联想到向量数量积，那么我们构造两个向量，让它们符合条件，再运用，即可解决问题。

解：设

则

∵

∴（ax+by）2≤12

∴

∴ax+by的取值范围是能构造，就可能创造。

三、向量在三角函数中的应用

例4：求sin5°+sin77°+sin149°+sin221°+sin293°的值。

本题表面上看与向量一点关系也没有，但纯粹用三角函数的方法求解也比较难，考虑到5°、77°、149°、221°、293°各相差72°，联想到正五边形的内角关系，构成正五边形建立坐标系，考虑到封闭图形的矢量和为0，各向量在y轴上的分量和为0，故sin5°+sin77°+sin419°+sin221°+sin293°=0

例5：已知的值

分析：本题一通分即出现

考虑到向量的数量积，设，其夹角为，

有，所以

解：设，夹角为

∵

∴

四、向量在解三角形或立体几何中的应用

向量有大小、有方向，即有长度、有角度，在解三角形中能推证正、余弦定理判定三角形的形状，点与三角形的位置关系，在立体几何中可求平面角的二面角等。传统的立体几何求二面角先要作平面角，再进行复杂的推证和求解，若应用向量则降低了处理图形的难度。

例6：如图2，若平面内且，请判定的形状。

图2

解：由，得O点为的重心，又