基于VRP、NS、Svensson模型的债券估值偏离程度实证分析

朱昱颖 周石鹏

摘要：虽然目前债券市场正处于高度发展期，但国内债券市场因流动性、交易制度等方面的不发达而严重制约了二级市场的交易活跃程度。银行间债券市场交易主要采用一对一询价模式，鉴于交易信息的不平衡，个别债券非常容易产生估值的偏离。此外，当前国内债券市场并没有提供“连续”的利率期限结构，客观上催生了债券估值的难度。本文从微观价格角度出发，通过三种不同模型的实证分析对比，对债券市场个券的高、低估状态进行度量。

关键词：VRP模型、NS模型、Svensson模型、债券估值

一、引言

中央国债登记结算有限责任公司自1999年开始编制中债收益率曲线，提出了债券收益率曲线构建模型，以期最大限度的反映出中国债券市场上债券不同期限的真实收益率水平，为市场提供客观、中立的收益率参考标准。中债收益率曲线的数据包括了银行间债券市场结算数据、交易所债券的成交数据、债券柜台的双边报价、银行间债券市场的双边报价以及市场成员收益率的估值数据。在目前中国债券市场中债券价格发现机制还不完备的情况下，中债收益率曲线重点参考了中国债券市场中部分核心成员的收益率估值数据，目前已经有50多家市场成员收益率的估值数据[1]。中债收益率曲线的构建模型选取的是Hermit插值模型。

二、模型介绍

1. Nelson-Sigel（NS） 、Svensson、VRP模型介绍

目前债券市场上投资者更多关注的是到期收益率曲线，尤其是中债到期收益率曲线，以此对个券进行定价。事实上，由于票息效应的存在，这种定价方法其实是不合理的 [2]。

此外，中债到期收益率曲线模型本身也值得斟酌。到期收益率构建过程中，需要确定一些固定的个券，而如何确定这些个券其实本质已经决定了到期收益率曲线的形状，毫无疑问，这样的处理方式值得推究--Hermit模型常被用于早期债券市场成交个券数据较少的情形，成熟的债券市场中Hermit模型使用其实非常少 [3]。”

在成熟的国债市场上，为剔除票息因素，更多的是使用平价收益率曲线，因此，债券估值分析的基石是即期收益率曲线，而不是到期收益率曲线。 即期收益率的构建本质上是一个最优化问题：首先，设定带有参数的即期收益曲线函数类型，不同的曲线类型便构成了不同的模型。其次，确定最优参数，保证目标函数值最小。目标函数常为实际价格与理论价之间的加权平均值，但目标函数的具体形式应模型的不同也可以略有差异。

利用参数技术拟合利率期限结构主要是采用指数衰减型函数来估计远期瞬间利率 ，该技术首先由 Nelson和 Siegel[4-6]提出 ，其具体函数形式为：

其中， f（t，t+m ）表示t时刻所计算的在 t+m时刻起息的远期瞬间利率， 、 、 、 分别表示利率的长期水平、 短期水平、 收益率曲线的斜率以及驼峰形状.

NS模型能够较好地估计形状相对简单的收益率曲线，但对于复杂的利率期限结构，该方法的拟合优度较差[7].由此， Svensson[8]在式NS模型的基础上增加了一项，即

该新增项加强了估计双驼峰状收益率曲线的能力，提高了拟合效果。NS模型和Svensson模型采用了确定形式的拟合函数，参数估计较为简单，但这两个模型对收益率曲线长短期两端的数据变动十分敏感，某个数据的较大变动都很可能对整个利率期限结构的估计产生很大的扭曲，因此稳定性较差，此外，这两种方法所估计的债券价格误差也较大[9-10]。

VRP（Variable Roughness Penalty）模型的函数类型是三次样条插值形式： ， ，其中，i=1，2…N，为分段端点。 为需要最优化的参数。其最优化目标函数为

式中， 表示通过拟合 进而估计的第 个债券的理论价格， 为债券的麦考利久期， 和 为粗糙度惩罚项[11]。

2.实证过程中的影响因素分析

个券高低估值分析是对初始信息和异常值极其敏感的指标，本文列出具体实证过程中考虑到的影响因素，希望尽量保证研究结果的客观有效性：

（1）由于研究目的是债券估值与实际交易价之间的偏离程度，因此要剔除没有成交的债券。

（2）考虑到MATLAB内置最优化程序的算法复杂度和计算机本身的性能问题，当输入样本过多时，运行速度会几何级上升。因此要剔除一定比例的样券，将债券数目控制在一定范围内。

（3）目前，MATLAB中的债券定价函数仅限于计算固定利率的附息债券，因此，对于浮动利率债券、累进利率债券和贴现债券，一律剔除不予考虑。

（4）本文主要利用MATLAB和Wind金融数据库进行债券的量化分析工作。MATLAB中对于债券日期的默认设置为SIA（美国证券业协会）的标准（默认参数为0），而非ISMA（国际证券协会）的标准（默认参数为8）。其中，SIA收益率为年化的半年收益率， 而ISMA收益率为年化的整年收益率，本文在数据处理过程中采用的是ISMA标准。

（5）短债利率可视为货币市场的贴现利率，而超长债的流动性较差，成交少，计入样本池进行分析容易对不同交易日的市场均衡态分析造成一定的噪声影响。因此，短债和超长债应当剔除。

三、结果分析

以2013年5月15日交易数据为例进行实证测算，结果如图1、图2、图3、图4。

当理论收益率-实际收益率>7bp时，债券被高估；当理论收益率-实际收益率<-7bp时，债券被低估；其余情况，债券定价合理。

图1：国债个券的估值高低表

数据来源：Wind金融数据库

图2：金融债个券的估值高低表

数据来源：Wind金融数据库

图3：国债VRP、NS、Svensson模型对比

图4：金融债VRP、NS、Svensson模型对比

从拟合结果（图3、图4）可以看到，不管是国债还是金融债，VRP模型的债券偏离程度指标均为最低，拟合效果最好。事实上，VRP作为分段样条插值函数模型，相比于NS和Svensson的连续函数模型，具备高拟合性、连续光滑的优点。此外，从估值合理个数角度来看，国债25个样本中，偏离个数比例约为36%，相比于NS和Svensson模型的96%、80%比例更合理。金融债25个样本中，偏离比例约为40%，相比于NS和Svensson模型的96%、88%更合理。

参考文献：

[1]郭涛，宋德勇.中国利率期限结构的货币政策含义.经济研究 ，2008（3）：47-51

[2]张屹山，张代强.包含货币因素的利率规则及其在我国的实证检验.经济研究，2008（12）：30-35

[3]林海，郑振龙.利率期限结构研究评述.管理科学学报.2008，10（1）：79-93

[4]陈芳菲，沈长征.Nelson - Siegel模型与国债收益率曲线的预测.统计与决策，2006（2）：27-32

[5]C.Nelson， A.Siegel. Parsimonious modeling of yield curves. Journal of Business.1987，60（4）：473-489

[6]L.Marangio， M.Bernaschi. A review of techniques for the estimation of the term structure. International Journal of Theoretical and Applied Finance.2002，5：189-221

[7]胡海鹏，方兆本.中国利率期限结构平滑样条拟合改进研究.管理科学学报，2009（2）：55-59

[8]L.E.Svensson. Estimating forward interest rates with the extended Nelson & Siegel method. Quarterly Review.1995，（3）：13-26

[9]何启志，何建敏，陈姗姗.利率期限结构指数样条模型实证研究.管理科学.2008，21（1）：100-107

[10]宋永安，陆立强.非参数利率期限结构动态模型及衍生品定价.复旦学报.2008，47（2）：213-219

[11]王烜.结构转换条件下利率期限结构建模及应用研究.博士学位论文，哈尔滨工业大学.2008