巧用“正难则反”策略解决数学问题

吴林

摘 要：本文通过列举一系列例题，分别从证明问题，参数问题，排列组合问题，概率问题，展示了在正面入手解题繁琐、困难的情况下，考虑从问题的反面切入却迎刃而解；从“反面进攻”往往是攻克数学“堡垒”的有效方法。

关键词：策略解题；正难则反；反面进攻

在解决数学问题的方法中，分析法、常量与变量的换位、补集法、反证法、同一法等方法、技巧都是对“正难则反”的解题策略的应用。这些方法技、巧通常是从逆转结构、逆转运算、逆转主元、逆转角度等转化方法上入手的。

解题一般总是从正面入手，习惯正向思维；但有些数学问题如果从正面入手，求解繁琐、难度较大，不妨打破思维常规采用“正难则反”策略，即考虑问题的相反方面，结合补集思想，利用“对立事件”，往往能开拓解题思路、简化运算过程，下面举例说明。

1 证明问题

例1：如果一个整数 的平方是偶数，那么这个整数 本身也是偶数，试证之。

分析：由“ 整数 的平方是偶数”这个条件，很难直接证明“这个整数 本身也是偶数”这个结论成立，因此考虑从反面入手用反证法证明。

证明：假设整数 不是偶数，那么 可写成n=2κ+1，κ∈Z 则

这与已知条件矛盾，则假设不成立，故整数n本身也是偶数。

例2：已知函数f（x）对其定义域内的任意两个实数a，b ，当a

证明： f（x）=0至多有一个实数根。

解析：假设f（x）=0至少有两个实数根x1，x2，设 ，则f（x1）

所以假设错误，故f（x）=0至多有一个实数根。

点评：

1.1 反证法的步骤：

（1）假设命题反面成立；（2）从假设出发，经过推理得出与题设矛盾，或者与定义、公理、定理矛盾；（3）得出假设命题不成立是错误的，即所求证命题成立。

1.2 矛盾的来源：

（1）与原命题的条件矛盾；（2）导出与假设相矛盾的命题；（3）导出一个恒假命题。

1.3 适用环境：

待证命题的结论涉及“不可能”、“不是”、“至少”、“至多”、“唯一”等字眼时。

2 参数问题

例3：已知集合P={x│4≤x≤5，x∈R} ，Q ={x│κ+1≤x≤2κ-1，x∈R}，

求P∩Q≠Q时，实数κ的取值范围。

分析：集合P、Q是数集，可将它们在数轴上表示出来，但 P∩Q≠Q的情况较复杂，正面求解，需逐一列举出来分别讨论，然后求并集，不易考虑周全，因此考虑从反面入手，结合补集思想求解。

解析：集合P、Q都是数集，若P∩Q≠Q ，则Q P 。

1 当Q=Φ时， κ+1>2κ-1 ， 解得κ<2 ；

2 当Q≠Φ 时， 则应有k+1≥42k-1≤5k+1≤2k-1

解得κ=3。

所以当κ<2或 κ=3时，P∩Q=Q 。

故当κ≥2且κ≠3 时， P∩Q≠Q 。

例4若三个方程x2+4ax-4a+3=0，x2+（a-1）x+a2=0，x2+2ax-2a=0至少有一个方程有实数解，试求实数 的取值范围。

分析：本题注意到条件“三个方程至少有一个有实根”的对立面是“三个方程均无实根”， 于是，从全体实数中除去三个方程均无实根时a的值，则为所求。

解析：若三个方程都没有实数解，则有

点评：

此题若正面求解，需分三类：

（1）有且只有一个方程有实数解；（2）有且只有两个方程有实数解；（3）三个方程都有实数解。

分别求解，然后求并集，其中（1）、（2）还需分类求解， 足见从反面求解此题之巧妙。

3 组合问题

例5：从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要甲型与乙型电视机各一台，则不同的取法共有（ ）种。

A.140种 B.70种 C.80种 D.35种

解析1：甲型电视机取两台，乙型取一台；或者甲型电视机取一台，乙型取两台。即 C24C15+C14C25=70，故选B。

解析2：在被取出的3台中，不含甲型或不合乙型的抽取方法均不合题意，因此符合题意的抽取方法有C39-C34-C35=70 （种） ，故选B。

例6：从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作三角形，其中直角三角形的个数为（ ）。

A.56 B.52 C.48 D.40

解析：从八个顶点中任取三个可组成 个三角形，去掉非直角三角形即面对角线构成的正三角形8个。所以直角三角形共C38- 8=48个，选C。

点评：

1 这种方法适用于：直接求解，容易出现重复记数或漏记；反其道而行之，反面的情况明确且易于计算，即找出不符和条件的去掉。

2 对于含“至多”或“至少”的排列组合问题，特殊限制条件下的排列组合问题，若直接解答多需进行复杂讨论，可以考虑“总体去杂”，即将总体中不符合条件的排列或组合删除掉，从而计算出符合条件的排列组合数。

4 概率问题

概率问题中含“至少”的概率问题，从反面去思考常常更加简洁，参看下例。

例8：某地区有5个工厂，由于用电紧缺，规定每个工厂在一周内必须选择某一天停电（选哪一天是等可能的），假定工厂之间的选择互不影响.求至少有两个工厂选择同一天停电的概率。

解析 设5个工厂选择的停电时间各不相同的事件为A，

点评：

本题从正面求解，应分类：

（1）两个工厂选择同一天停电；（2）3个工厂选择同一天停电；（3）4个工厂选择同一天停电；（4）5个工厂选择同一天停电，求解较复杂。

这种策略提醒我们，在解题时如果从正面入手困难重重，那就应当放弃初衷，改由反面去思考，设法通过逆向的探索使问题获得解决，这样就能化难为易，化隐为显，从而将问题解决.这种逆反、转换的思维实际上是一种逆向思维，体现了思维上的灵活性，也反映着数学问题因果关系的辨证统一关系。

以上观知：“正难则反”策略解题贯穿高中数学.这一解题策略不但可以激发学生学习数学的兴趣、拓广思维、增强解题技能，还可以培养学生思维的灵活性、创造性.不仅如此，冲破习惯思维的束缚，从“反面进攻”往往是攻克数学“堡垒”的有效方法。

（责任编辑 王昕）