向量方法在立体几何教学中的应用

肖慧

摘 要： 向量是一种既有大小又有方向的量，它既具有数的特性又有形的特性，因而它成为联结数和形的有力纽带.根据向量的数形特性，将几何图形数量化，并通过运算解决立体几何中的平行、垂直、求距离、求角度等问题，可以避免构图和推理的复杂过程，减少解题琐碎的技巧，降低题目的难度.

关键词： 向量 立体几何教学 数形结合

在目前的立体几何教学中，传统的综合方法仍占主导地位，绝大多数学生仍然沿用这种方法处理立体几何问题，难度比较大.实际上利用向量的方法处理立体几何的空间问题比传统的综合方法有着明显的优势，特别是空间两直线平行，垂直的证明，角度与长度的计算问题，可以避免构图和推理的复杂过程，减少了解题的琐碎技巧，降低了题目的难度.

一、利用向量证明平行问题

1.设a、b为两条不重合的直线，■、■分别为直线a、b的一个方向向量，那么a∥b∥？圳■∥k■.

根据实数与向量的积的定义

■∥■？圳■=k■（k∈R，k≠0）

已知直线L■：3x-5y+1=0，L■：6x-10y+5=0，L■与L■不重合，证明：L■∥L■.

证明：∵L■：3x-5y+1=0，L■：6x-10y+5=0

∴L■的方向向量■=（5，3）

L■的方向向量■=（10，6）

∴■=2■

∴L■∥L■

2.直線与平面平行可转化为直线的方向向量与平面的法向量的垂直，也可用共面向量定理证明线面平行问题.

如图所示，已知正方形ABCD和正方形ABEF所在平面互相垂直，M，N分别是对角线AC和BF上的动点，且AM=FN，求证：MN∥平面BEC.

本题可建空间直角坐标系求解，利用坐标运算解决问题.这样处理比较直观，便于理解掌握.

如图所示，以点A为原点，以AF，AB，AD所在直线分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系A-xyz.

设AB=a，则点B、C、E、F的坐标分别为（0，a，0），（0，a，a），（a，a，0），（a，0，0）.

设点M的坐标为（0，t，t），则由于AM=FN，那么点N坐标为（a-t，t，0），

因此■=（a-t，0，-t），■=（0，0，-a），■=（a，0，0），

∴■=■■+■■，

∴■，■，■共面，

∵直线MN不在平面BCE内，

∴MN∥面BCE.

二、利用向量证明垂直问题

向量解决解析几何问题最理想的情形是题中有“垂直”，“垂直”可以在结论中，也可以在条件中，此时用向量的优越性非常明显地体现在：两个向量垂直的充要条件可以把“垂直”的内涵淋漓尽致地体现在一个等式中，从而有效地回避解析几何中错综复杂的位置关系的演化，而变为纯粹的运算，其实只要看做向量问题时，所涉及的向量易于用坐标表示就足够了，即使是一般角也未尝不可，甚至有关距离的题目，也都可用向量知识解决.

空间线线、线面、面面垂直关系，都可以转化为空间两个向量的垂直问题.

1.“线线垂直”可以转化为“向量垂直”.

设■、■分别是直线a、b的一个方向向量，那么a⊥b？圳■⊥■？圳■·■=0

■·■=（a-t，0，-t）·（0，a，0）=0

∴■⊥■即MN⊥AB

2.线面垂直问题.

如图所示，在正方体ABCD-A■B■C■D■中，O为AC与BD的交点，G为CC■的中点，试用向量的方法证明：A■O⊥平面GBD.

解析：本题主要考查向量的分解，向量数量积运算，线面垂直的判定定理等知识.

设■=■，■=■，■=■

由已知■·■=0，■·■=0，■·■=0

|■|=|■|=|■|

而■=■+■=■+■（■+■）

=-■+■（■+■）

■=■-■=■-■

■=■+■=■（■+■）+■■=■（■+■+■）

∴■·■=[■（■+■）-■]·（■-■）=■（|■|■-|■|■）=0

■·■=[■（■+■-■）]·[■（■+■）+■■]

=■（■+■-2■）·（■+■+■）=■（|■|■+|■|■-2|■|■）=0

∴A■O⊥BD，A■O⊥OG，又BD∩OG=O

∴A■O⊥平面BDG

本题若从线面关系入手，思维过程相对比较复杂.但从向量的角度考虑，思维过程则简单得多，借助于向量的数量计算，只需要证A■O与平面BGD中的任意两条相交直线所在的向量的数量积为0即可，简化了思维过程，体现了向量的优越性.

3.“面面垂直”可以转化为“向量垂直”.

设■，■分别为平面α、β的一个法向量，那么α⊥β？圳■⊥■？圳■·■=0.

如图所示，已知在正四棱柱ABCD-A■B■C■D■中，底面边长为■，侧棱长为■，E、F分别为AB■、B■C的中点，求证：平面D■EF⊥平面AB■C.

解：把正四棱柱如右图放置在坐标系中，则各点坐标为：

A（■，0，0），C（0，■，0）

B■（■，■，■），D■（0，0，■）

E（■，■，■），F（■，■，■）

假设平面AB■C的法向量为■=（1，λ■，u■），则■应垂直于■和■，而

■=（-■，■，0），■=（0，■，■）

∴■·■=-■+■λ■=0

∴■·■=■λ■+■u■=0

∴λ■=1，u■=-■

∴■=（1，1，-■）

再假设平面D■EF的法向量为■=（1，λ■，u■），则■应垂直于■，■.而

■=（■，■，-■），■=（■，■，-■）

∴■·■=■+■λ■-■u■=0，■·■=■+■λ■-■u■=0

∴λ■=1，u■=■

∴■=（1，1，■）

∵■·■=1+1-■·■=1+1-2=0

∴■⊥■

∴平面D■EF⊥平面AB■C.

三、利用向量求解空间角问题

空间角包括两条异面直線所成的角，直线与平面所成的角，平面与平面所成的角等，是高中教学的重点，传统方法求解异面直线夹角时，一般要选取异面直线中某一条直线上的一个特殊面作另一条直线的平行线，但有时候，为了找到易于计算的平行线，往往要费一番心思构造辅助面、辅助体，有时候会感到无从下手.

向量在解决这类问题时显现出强大的优势，不需要将构成角的两边线段“移到”同一平面内，只需要确认这两条线段构成所求角的两边即可，应用两个向量数量积的公式就可以求解.

设直线AB和平面α所成的角θ，则sinθ=■，其中■为平面α的法向量.

如图所示，正三棱柱ABC-A■B■C■的底面边长为a，侧棱长为■a，求AC■与侧面ABB■A■所成的角.

解：如图所示，以点A为坐标原点O，以AB所在直线为y轴，以AA■所在直线为z轴，以经过原点且与平面ABB■A■垂直的直线为x轴，建立空间直角坐标系，得

A（0，0，0），B（0，a，0），A■（0，0，■a），C■（-■a，■a，■a）.

取A■B■的中点M，则有M（0，■a，■a），连接AM、MC■，有■=（-■，0，0），且■=（0，a，0），■=（0，0，■a）.

因为■·■=0，■·■=0，

所以■⊥面ABB■A■，所以■为面ABB■A■的一个法向量.

又因为■=（-■a，■a，■a），■=（-■a，0，0），

所以|■|=■a，|■|=■a.

设AC■与侧面A■B所成的角为θ，则

sinθ=■=■，

所以AC■与侧面ABB■A■所成的角为30°.

向量是近代数学中重要和基本的概念之一，向量本身就是一个数形结合的产物，它是沟通代数、几何、三角的一种工具，具有丰富的实际背景.华罗庚关于“数形结合”有一句名言：“数缺形时少直观，形离数时难入微.”数形结合是数学中非常重要的思想和解决问题的常用策略.利用向量方法研究立体几何问题，避免了传统几何方法中繁琐的推理及论证，充分体现出数学中数与形这二元结合、相辅相成的基本内涵和本质特征，大大提高了学生解决立体几何问题的能力.