高等数学教学中引入典型应用性例题的尝试与探讨

申艳

摘要：目前，后续专业课对高等数学的要求越来越高。引入典型应用性例题既能加深学生对数学概念、公式、定理的理解，又能将数学知识与专业知识有机结合。这种教学方法不仅能提高学生的抽象思维能力、应用能力，而且能激发学生的学习兴趣和创新意识，是常规教学方法的一种改进和提高。

关键词：典型应用性例题；专业知识；有机结合；探讨

中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2013）09-0035-03

一、现状情况分析

高等数学不仅是绝大多数理工科专业构建知识体系的基石，也是部分高校文科类专业的必修课。高等数学的概念方法、理论知识既是学生学习后续专业课程的重要工具，也是培养学生创新能力的重要途径。但是随着近些年来高校招生规模的不断扩大，入学新生基础参差不齐，后续专业课对数学的要求又相对较高，高等数学教学面临着越来越大的挑战。面对这些新的情况，如何确保并不断提高高等数学的教学质量，如何将高等数学与专业课有机结合，这些都成为高校教师关心和探讨的焦点问题。为了了解学生对目前高数教学中例题设置的合理性以及与专业课程学习的相关性，我们利用课间时间对学生进行了抽样调查，结果显示，60%左右的学生认为目前高数教学中例题设置很少与专业挂钩，以至于认为所学专业以后使用数学的地方不是很多，缺乏学习的动力；也有相当多的学生认为目前例题的设置偏重理论性论证，缺乏实用性，对数学产生畏难情绪，认为数学枯燥无味。显然，这一现状与高等学校工科数学课程指导委员会提出的：“基础理论教学以必需、够用为度；以掌握概念、强化应用为教学重点，尽量减少数理论证，加强理论应用”的要求是不相吻合的，也反映出目前高数教学中例题选择的侧重点已不太适应专业化、应用型人才的培养需求。就教师方面而言，大部分教师考虑更多的是钻研教材、设计教法，将教材知识讲透彻即可。在典型例题的设置上，很少有教师会考虑到不同学科专业的针对性，这个现象引起了我们的注意。诚然，强调重点难点，实现教学目标，这是课堂教学主要的任务。可是，面对一群不同专业背景的学生，我们的教学目地要从传授知识向培养学生的能力转变，怎样将数学知识更好地融入专业课程，也是我们应该着重考虑的。

二、前期准备工作

1.对学生加强高等数学课程重要性的介绍。在每学期开始，都需要向学生介绍高等数学课程的重要性以及与后续课程的相关性。使学生认识到数学的重要性，进一步培养他们学习数学的兴趣，最终能够有意识地自主利用数学知识解决实际问题。

2.不同专业的高数授课老师应相对稳定，结合专业编写典型应用性例题库。不同的专业对高数课程的需要不同，不同的学生对高数课程的掌握程度也不同。作为教师，不仅要对自己的学生有所了解，也要对他们所学的专业和将来的发展方向有所了解，这样才能知道哪些数学知识对他们的后续课程的学习以及将来的工作有用，从而加以重点讲授。有针对性地选择与该专业相关的典型应用性例题，激发学生的学习兴趣和创新意识，加强高等数学相关知识与后续课程的衔接。

针对不同的系或专业，安排专门教师负责该专业的高等数学教学工作。在教学过程中不断加强与院系教师的交流，针对不同专业随时修改和完善典型应用性例题库，调整教学内容，让高等数学课程为后续课程提供坚实的理论基础与思想方法。

3.典型应用性例题既要加深学生对数学概念、公式、定理的理解，又要将数学知识与专业知识有机结合。例题的教学是整个高数课堂的一个重要组成部分，是数学教学活动中最基本、最重要的教学形式。但是对例题的讲解只是照本宣科，没有任何课外的补充，与专业毫无关联，学生会毫无兴致，觉得数学枯燥无味。因此有意识地引用与所学专业相关的应用性典型例题，对提高学生的学习兴趣，对学生掌握知识和能力培养，能收到事半功倍的良好效果。

为了达到上述目的，首先，我们要分析现有高等数学教学中典型应用例题教学中存在的问题与不足；其次我们再收集、分析、整理各学科中既能加深学生对数学概念、公式、定理的理解，又能将数学知识与专业知识完美结合的典型应用例题，并归纳成册；最后将它们应用到相关专业的教学中，并不断总结，日臻完善。

三、研究方法探讨

1.在数学概念及定义教学中引入典型应用性例题提高学生的抽象思维能力。就数学概念而言，几乎没有凭空臆造的，都是从大量实际问题中归纳、抽象而成的。要想很好地理解和掌握数学概念必须遵循从表象到实质、从具体到抽象、从特殊到一般的规律。通过这个过程，学生才能感受到数学概念在客观世界中代表的实际含义，同时他们也能深刻体会到数学知识来源于客观实际最终又在解决实际问题中得以应用。数学教师在引入数学概念之前可以举几个与专业联系紧密的实例，丰富学生的感性认识。然后撇开这些实例的具体意义，抓住它们在数量关系上的共性，就能抽象出相应的数学概念。这样讲授数学概念，学生容易理解接受，也能深切感受到数学知识对专业学习的重要性。例如，在给通信工程、气象学、气候学、地理信息系统等专业的学生讲授方向导数及梯度的概念时，可通过这样一个例子引入。设有一座小山，取它的底面所在的平面为“xoy”坐标面，其底部所占的闭区域为D=（x，y）x2+y2-xy≤75，小山的高度函数为h=fx，y=75-x2-y2+xy.现欲利用此小山开展攀岩活动，为此需要在山脚找一上山坡度最大的点作为攀岩的起点，试确定攀岩起点的位置。教师可以引导学生从感性认识“坡度”抽象出“方向导数”的概念。从“最大坡度方向”即方向导数最大的方向抽象出“梯度”的概念。当学生很好地理解了方向导数及梯度的概念时，这个实际问题就容易解决了。

2.在数学定理、公式教学中引入典型应用性例题提高学生的应用能力。人类对客观世界的不断认识产生了一些理论，但正确的理论必须经得起实践的检验。理论只有与实际紧密相联系才能体现它的真正价值和意义。遗憾的是许多数学教师在讲解数学定理、公式时过多地追求严格的逻辑证明，忽略了数学的实用性，一般不引用与其他专业和学科相关的典型实例。在这种教学理念下，高等数学课堂上出现的现象是，数学教师连篇累牍地推导着冗长烦琐的理论，而学生却感到数学深奥难测，无所适从。因为失去了感性认识的基础，直接跨入理性认识，学生自然会感到理解困难。其实数学与很多学科之间是相辅相成的，许多学科研究会运用到数学的理论和方法；反过来，其他学科研究的过程及结果也会引导和促进数学学科的发展。因此在讲解数学定理、公式之前或之后，很有必要引入一些与所教专业相关的典型应用性例题，这种理论联系实际的教学方法可以加深学生对数学知识的理解，也是学生容易接受的。例如，在给经济管理、市场营销、电子商务等专业的学生讲授二元函数取极值的必要条件时，有定理：设函数z=fx，y在点x0，y0具有偏导数，且在点x0，y0处有极值，则有fxx0，y0=0，fyx0，y0=0.对于这样一个抽象的定理，可以采用下面这个实例让学生在感性认识的基础上学以致用。某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售，售价分别为：p1和p2销售量分别q1和q2，需求函数分别为：q1=24-0.2p1，q2=10-0.05p2总成本函数为：C=35+40（q1+q2），试问：厂家如何确定两个市场的售价，能使其获得的总利润最大？最大利润为多少？解法如下：总利润函数为L=p1q1+p2q2-C=32p1-0.2p12-0.05p22+12p2-1395.由极值的必要条件，得方程组：？坠L？坠P1=32-0.4P1=0？坠L？坠P2=12-

0.1P2=0解此方程组，得p1=80，p2=120由问题的实际意义可知，厂家获得总利润最大的市场售价必定存在，故当p1=80，p2=120时，厂家获得的总利润最大，其最大利润为L=6053.

3.在专题讲座及选修课中引入典型应用性例题激发学生的学习兴趣和创新意识。针对某些专业，如计算机、自动化、通信工程等开设的专业课程《数据挖掘》、《数字信号处理》等，以及作为高校公共课的《复变函数》、《概率论与数理统计》等，都大量的用到了一元广义积分、重积分、广义二重积分、级数等内容。而这些内容在高等数学课程中要求较低并且学生在学习过程中也常常忽略这部分内容的学习，导致学生学习后掌握不好或对这部分知识印象不深刻。为解决这类问题，可以增设选修课程或讲座专题并引入典型应用性例题等方式激发学生的学习兴趣和创新意识，加强高等数学相关知识与后续课程的衔接。

四、总结与展望

典型应用性例题能够在高等数学教学中发挥重要作用，促进学生爱学数学，会学数学，善用数学。在高等数学的教学中，教师要善于利用典型应用性例题来调动广大学生的学习数学的积极性，提高课堂教学效果，为培养高素质、高技能的创新型人才奠定坚实的基础。

高等数学典型应用性例题的教学是一种新的教学模式，虽然受到学生的欢迎，但也有一定的局限性。首先，既适合数学教学又与专业相关的例题搜集起来比较困难。其次，讲解典型应用性例题对教师的要求较高，可有时效率却不高。因此，在高等数学教学中开展典型应用性例题的教学，还需要更多的尝试和探讨。但是，它作为一种有意于学生今后发展的教学模式，是对常规教学的一种改进和提高。

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基金项目：本文得到天津理工大学教学基金项目（YB10-45）的支持