一类非线性偏微分方程弱解的存在性

袁桓

摘 要：解的存在性和正则性是偏微分方程研究的重要课题.古典解往往难以直接到达，数学上定义了可微性弱一点的强解和弱解，并发展了先求证强解或弱解的存在性，在利用先验估计提升正则性的方法.该文将证明一类非线性偏微分方程弱解的存在性.

关键词：Banach不动点定理 弱解存在性 非线性偏微分方程

中图分类号：O13 文獻标识码：A 文章编号：1674-098X（2013）03（c）-0-01

取足够小，则有，故是压缩映射。由Banach不动点定理，知存在唯一不动点。定理得证。

3 结语

由此，我们看到，形如（1）的二阶非线性偏微分方程在一定条件限制下存在唯一的弱解。事实上，对于各种具体的情况，我们还可以利用各种正则性估计理论将这个弱解的正则性提高，从而使得这个解满足二次可微的性质。这样的话，就得到物理和实际上需要的强解。满足了强解的存在性的话，上述证明事实上也给出了利用迭代构造一个可以逼近这个强解的收敛函数列的方法。在现实情况中，我们只需要取这个函数列的前面几项，就可以得到合乎足够精度要求的数字解。这也是计算数学中常用的方法。但是，这样一个解释存在的是可以做数值逼近的前提条件。这就是理论数学研究的范畴。

参考文献

[1] Lawrence C.Evans.Partial Differential Equations.American Mathematicat society.2010.

[2] 马天.偏微分方程理论与方法[M].北京：科学出版社，2011.

[3] Nakhlé H.Asmar.Partial Differential Equations with Fourior Series and Boundary Value Problems（Second Edition）.