逆向思维在数学教学中的应用

高新宇

逆向思维是让思维向对立面方向发展，从问题的相反面深入进行探索的方式。人们习惯于沿着事物发展的正方向去思考问题并寻求解决办法，其实，对于某些问题，尤其是一些特殊问题，从结论往回推，倒过来思考，从求解回到已知条件，反过去想或许会使问题简单化。在数学教学中体现出的作用是对知识、规律的深入理解，对提炼结论的应用与检验和学生思维能力的培养。

一、引导学生反向设计问题

基础知识是课堂教学的主要内容，要求学生要深入理解，掌握扎实，它是学生学习数学的奠基石，各种练习题都以其为基础进行设计。为使学生更好地理解这些知识，我们可采用反向思维的方式对其进行分析。例如：在定义域的学习中学生容易理解和掌握定义，但往往在求解上出现畏难情绪，不会解，或少解、或多解。为解决这个问题可在一定的正面练习的基础上为定义域的结果设计一个函数解析式，使其满足定义域，可结合知识基础假设对数型、偶次根式型，等等。定义域的设计可采取由单向无穷至封闭区间或两个区间并集各种形式，能极大程度地调动学生积极性，并帮助他们从深层次掌握各种定义域的限制条件，促使学生完成初步的由解题到出题的转变。在此处知识的教学中还有一个难点——二次不等式的解，也在上一训练中得以升华。

在学习某些数学定理以后， 指导学生思考并用清晰的语言来叙述它的逆出题目， 再去判断或论证逆出题目的正确性，是逆向思维训练的有效方法。能力较差的学生一般只会简单地把定理的题设以及结论对换，难免出现语言不准确的错误，但由正定理反过来设计逆定理是对正定理理解的完美补充。如立体几何中的平行、垂直等的判定与性质定理等。

二、运用反例及补集思想分析题

在解诸如填空、判断、选择题时，运用事例及补集思想分析题更是一种简单易行的方法；在解题后，对解题过程和结果的检验，也是一种行之有效的方法；在审题时，可帮助学生找出由于种种原因而出现的错题，以避免浪费精力和时间；在求概率问题时运用补集思想分析是较好的方法，如确定对立事件反向求概率如此，等等，不能低估了反向思维的作用。数学被誉为“思维体操”，思维的多样性、灵活性更是其显著特点。客观题的解答只需合理不需过程，反向检验更容易快速地得出结论。比如从选项看取值范围的差异用特殊值检验。又如讲解对数函数的性质，由于对数函数与指数函数互为反函数，在指导学生观察对数函数的图像特征时，指导学生将两种函数的图像以及性质进行对比，学生能相应地得出对数函数的四条性质。再列出指数函数以及对数函数的一般形式，定义域以及值域，数值变化以及单调性方面的对照表，学生就能更清楚两者之间的对称（互逆）关系了。

三、简易逻辑在思维中的作用

简易逻辑的教学不仅是知识教学，对学生影响更深的是思维上的潜移默化。比如反证法，它的理论基础应是证明非P 是假命题从而说明P命题是真命题。而并非是证明逆否命题。在条件不变的情况下通过证明非P 成立的不可能性得证。例如，学生在采用直接证法证明有些题目感到辛苦后，自然地提出一种相反的想法：与求证的结论相反的假设不能成立，从而可以确定原来求证的结论不得不成立。但初级中学阶段学生对反证法的学习还是初步的，主要应使学生掌握反证法的思绪以及步骤。到高中阶段，反证法在立体几何以及代数中获得更广泛的应用，应让学生进一步了解反证法的实质以及逻辑依据，明确在什么情况下运用反证法。必须充实熟悉到，反证法不仅是初等数学中一种重要的证明方法，同时也是学习高等数学所必需的。它的理论根据以及叙述形式都比较特殊，因此它是中学数学教学中的一个难点。另一种证明方法是逆否证法。证明原命题的逆否命题的真实而得到原命题成立。这种反证法及逆否证法是解决很多问题的思想方法，如证明不等式、判断是否存在问题。

总之，对学生的逆向思维的训练应结合实际的教学进行，以知识教学为训练载体，把能力培养蕴涵于学生的普通学习内容中，于潜移默化中训练逆向思维。