分类讨论思想在中学数学中的应用

周洪荣

【摘要】本文举例说明了分类讨论的思想在中学数学中的应用，对帮助学生领悟数学中的思想方法和技巧有一定的帮助。

【关键词】中学数学 分类讨论 思想方法

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】B 【文章编号】2095-3089（2013）04-0149-01

数学思想较之数学基础知识，具有更高的层次和地位。它蕴涵在数学知识的发生、发展和应用过程中，它是一种数学意识，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决。数学思想方法是数学思想的具体体现，具有模式化与可操作性的特征，可以作为解题的具体手段。只有认真领会数学思想与方法，才能在分析和解决问题时得心应手；只有领悟了数学思想与方法，书本的、别人的知识和技巧才会变成自己的能力。

数学思想方法种类繁多，诸如数形结合，化归，分类讨论，整体思想等等。每一种数学思想方法都有与之相适应的特定环境和依据的基本理论，本文以分类讨论思想为例，谈谈数学思想在解决数学问题中的应用。

一、由于概念本身需要分类的，像等比数列的求和公式中对公比的分类和直线方程中对斜率的分类等

例1.[2012年重庆卷21题] 设数列{an} 的前n 项和 Sn满足Sn+1 =a2Sn+a1，其中a2≠0，

（1）求证：{an} 是首项为1的等比数列；

（2）若a2>-1，求证：Sn≤■（a■+a■），并给出等号成立的充要条件。

解析：（1）略

（2）当n=1 或2时，显然Sn≤■（a■+a■） ，等号成立。

设n≥3 ， a2>-1且a2≠0 ，由（1）知a=1 ，an=a2n-1 ，所以要证的不等式化为1+a2+a22+...+a2n-1≤■（1+a2n-1），（n≥3 ）

即证：1+a2+a22+...+a2n-1≤■（1+a2n），（n≥2 ）

当a2=1 时，上面不等式的等号成立。

当-1

当a2>1 时，a2r-1 与a2n-r -1 （ r=1，2，…，n-1）同为正。

因此当a2>-1 且a2≠1 时，总有（a2r-1）（a2n-r -1）>0 ，即

a2r-1+a2n-r <1+a2n（ r=1，2，…，n-1）

上面不等式对 从1到n-1求和得：

2（a2+a22+...+a2n-1）<（n-1）（1+a2n）

由此可得1+a2+a22+...+a2n-1≤■（1+a2n），（n≥2 ）

综上，当a2>-1 且a2≠1 时，有Sn≤■（a■+a■），当且仅当n=1，2或a2=1 时等号成立。

本题在等比数列求和时对公比进行分类讨论。因此在此类题目中，我们一定要确定分类标准，只能按确定的标准进行合理分类。

二、同解变形中需要分类的，如含参问题中对参数的讨论、解不等式组中解集的讨论等

例2.（2012高考真题安徽理19）设f（x）=aex+■+b（a>0） 。

（I）求f（x） 在[0，+∞） 上的最小值；

（II）设曲线y=f（x） 在点（2，f（2）） 的切线方程为y=■x ；求a，b 的值。

解析：（I ）设t=ex（t≥1） ；

则y=at+ ■+b？圯y'=a-■=■，

①当a≥1 时， y'>0？圯y= at+■+b在t≥1 上是增函数，

得：当t=1（x=0） 时， f（x）的最小值为a+■+b 。

②当0

当且仅当at=1（t=ex= ■，x=-1na）时，f（x）的最小值为（b+2）。

（II）略

本题考查函数、导数的基础知识，运用导数研究函数性质等基本方法，考查在有参数的情况下用分类讨论思想解决问题的能力。由于分类讨论使这类题变得易于解决。

由以上示例可看出，用分类讨论思想解决数学问题的基本步骤大致可分四步：（1）确定讨论对象和确定研究的区域；（2）对所讨论的问题进行合理的分类（分类时需要做到不重复、不遗漏、标准统一、分层不越级）；（3）逐类讨论：即对各类问题详细讨论，逐步解决；（4）归纳总结，整合得出结论。这就是战略战术里的“分而治之，各个击破”。

参考文献：

[1] 孙洪权，浅谈数学中的分类讨论[J]，数学大世界：教学导向-2006年1期。

[2] 张乔富，数学思想在教学中的应用[J]，理科考试研究：初中版-20。