数学美与解题

顾维明

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2013）04-0141-02

数学是一个五彩缤纷的美的世界，当我们认识到它时，就可以改变对数学的成见，极大地提高学习数学的积极性。因此在平时的教学中，我们应注意挖掘数学中美的素材，培养学生的审美意识和数学美感。在解数学题时，应以审美的心态去观察、思考，看能否运用美学的方法——简单性方法、和谐性方法、对称性方法、类比性方法、奇异性方法等来解决数学问题，本文对此略作探索。

一、从整体代换和正难则反中实现简单美

简单性是数学美的基本内容之一，法国哲学家狄德罗说：“数学中所谓美的问题是指一个难以解决的问题，而美的解答是指一个问题的简单解答。”

例1 已知一元二次方程ax2 +bx+c=0的两个实数根分别为m、n，记p=m4+n4，q=m3+n3，r=m2+n2，求ap+bq+cr的值。

分析：本题若用根与系数的关系m+n=-b/a，mn=c/a 直接代入，运算非常复杂；若运用方程根的意义，再整体代换，则十分简捷。

解：由方程的定义，得am2+bm+c=0，an2+bn+c=0，则ap+bq+cr=a（m4+n4）+b（m3+n3）+c（m2+n2）=（am4+bm3+cm2）+（an4+bn3+cn2）=m2（am2+bm+c）+n2（an2+bn+c）=m2·0+n2·0=0。

例2 学校有132人参加乒乓球选拔赛，采用输一场即予淘汰的单淘汰制。为了决定第一名，共需进行多少场比赛？

分析：若从正面考虑，需分别求出每一轮比赛的场数再相加，显然不符合简单性原则，不妨考虑其反面，选拔1人的反面是淘汰131人，而每淘汰1人就要进行1场比赛，故需进行131场比赛。

二、从全局考虑和合理猜测中体现和谐美

希腊数学家裴安说过：“和谐美是杂多的统一，是对立的协调，经过数学变化出现了统一的均衡美。”和谐化原则能帮助我们制定解题策略，为我们指明解题方向。

例3 求证：2/1·5/4·8/7·…·（3n-1）/（3n-2）>n为正整数）。

分析：不等式左边的结构是有规律的，同时又似乎有点不完整，和谐化原则指引我们把左边的结构补充完整。