引力势能公式的推导及应用

曹铁岭

【中图分类号】G633.7 【文献标识码】B 【文章编号】2095-3089（2013）06-0171-01

2007年全国高考理综卷Ⅱ第20题：假定地球，月球都静止不动，用火箭从地球沿地月连线向月球发射一探测器.假定探测器在地球表面附近脱离火箭.用W表示探测器从脱离火箭处飞到月球的过程中克服地球引力做的功，用Ek表示探测器脱离火箭时的动能，若不计空气阻力，则（ ）

A. Ek必须大于或等于W，探测器才能到达月球

B. Ek小于W，探测器也可能到达月球

C. Ek= W，探测器一定能到达月球

D. Ek= W，探测器一定不能到达月球

该题目A、B选项中，由于月球引力也会对探测器做功，由动能定理不难得出B选项正确，但对于C、D选项中，由于引力是变力，无论定量计算还是定性判断都很困难，但若能利用引力势能公式Ep=-G ，则会起到事半功备的效果。现将该公式推导如下。

设万有引力常量为G，地球的质量为M，地球外某质点的质量为m，取无穷远的引力势能为0。当质点从地球外A点（距地心为r0处）移动到B点（距离地心为r处），如图所示，地球引力F对质点做的功为W，将r0到r之间的距离分为n段，每一段的距离为Δr=（r-r0）/n， 即r=r0+nΔr，当n→∞时，Δr→0，在每一段Δr 内引力F可看作是恒力，质点从r0到r，引力F做的总功为

W= = Δr=-GMmΔr（ + +…+ ）

=-GMmΔr（ + +…+ ）

≈-GMm（ + +…+ ）

=-GMm（ - + - +…+ - ）

=-GMm（ - ）=-GMm（ - ）

取无穷远处引力势能为0，当r →∞时，W=- ，所以r0处的引力势能为EP=W=-G 。

月地之间的距离大约是地球半径的60倍，对于C、D选项，由题意并根据引力做功与引力势能变化的关系有

W≈-G -（-G ）≈0-（- ）≈G ①

其中R地为地球本身的半径。若不考虑月球引力，设探测器离地心的最远距离为r，则由题意并根据机械能守恒定律得

Ek= =-G -（-G ） ②

由①②解得：r=2R地，所以若不考虑月球的引力，对于初动能Ek= W，探测器只能从地球表面运动到离地心2R地处，在这个距离内，月球引力做的功完全可以忽略。而探测器要想到达月球表面，则至少要到达地球引力和月球引力相等的位置，即探测器距离地心的距离一定大于30R地，显然对应 W的初动能，探测器远远不能到达该位置，所以D选项是正确的。

综上所述，该题目应该选B、D。若能记住、理解引力势能公式EP=-G ，并根据实际情况进行合理估算，该题目就能很快得出正确答案。