基于矢量拟合的过孔等效电路提取方法

孔 繁 盛卫星 韩玉兵 王 昊 马晓峰

(南京理工大学电子工程与光电技术学院，江苏 南京 210094)

引 言

随着高速集成电路的快速发展，信号完整性问题[1]变得越来越复杂，单纯的电路仿真不再能满足精度的需要，而完整的电磁场分析建模又会使问题变得非常巨大，无论是对硬件中央处理器(Central Processing Unit,CPU)和内存的需求上，还是电磁场问题本身的复杂度和困难度上，都会大幅度增加解决问题的成本.如何在效率和精确性上取得平衡，在既能满足精度要求，又能快速有效地进行信号完整性仿真，甚至更好地兼容电路域的信号完整性仿真正逐步成为信号完整性分析方法研究的热点.高速电路的不连续情况会严重影响信号传播的质量，而分析这些不连续情况则是电磁场建模中最为复杂的.例如印刷电路板上最常见的过孔结构，它的形状结构复杂，穿越电路板平面层数多，为了得到精确的模型，其相对应的建模也必须是精细的，尤其是带有色散材质的电磁分析，其计算量和分析过程是相当巨大的.但实际使用当中又常常希望能将这样精细的建模的结果用于信号完整性分析中，甚至时域分析当中去.

现阶段的很多信号完整性分析软件(如ADS，HSPICE等等)都使用等效电路模型对高速互联线进行快速的频域和时域分析.使用电路模型仿真和使用全波的电磁模型仿真相比较有两个优势：第一，可以有效地和传统的电子器件模型兼容；第二，使用电路模型仿真对计算机的硬件资源要求比较低，节省对CPU和内存的消耗.假如对整个电路板都采用全波建模仿真，其结果可以达到最精确，但是建模目标的相对物理尺寸跨度很大，建模的复杂度会非常高，仿真所需要的硬件资源会异常巨大，同时也会消耗很长的时间.在信号完整性分析的阶段需要能够在精确性和效率上做出平衡，在这样的需求下，一种可行的方法是只针对感兴趣的部分例如过孔结构这样的局部采用测量或者全波的电磁场分析，得到其特性参数，进而获得其行为描述的宏模型或者称之为黑箱模型，将其看作是两端口或者是多端口的器件.这样的宏模型建立要遵循以下的原则：首先是因果性条件，一个实际器件有两端口，当信号从一端输入，另一端口要滞后一段时间输出信号.第二是稳定性条件要求如果是带限信号激励，输出的还是带限信号.因此用一个有理函数来代替稳定系统需要满足极点在S平面的左半平面,有理函数不能在虚轴上有多重极点.第三是无源性，无源性条件要求无源电路不产生能量，用系统函数H(s)来解释，就是H(s)不含右半平面的极点,在虚轴上没有多重极点,系数是实数,H(s)的实部对于所有的频率都大于或等于零，即，Re(H(s))≥0.可以用来拟合宏模型的方法主要有基于Pade近似[2]的矩匹配法[3-4]、渐近波形估计法[3]、Krylov子空间变换法[6]、最小二乘估计法[7]、矢量拟合法[8-10].其中基于Pade近似的矩匹配法对矩的变化特别敏感容易不稳定，不能很好满足第二点的要求，而渐近波形估计法和Krylov子空间变换法无法解决第三点无源性的问题，最小二乘法在零极点个数比较多的情况下无法应用.然而矢量拟合法都可以很好地满足以上三个要求.矢量拟合法将网络模型拟合为极点-留数型有理函数的形式，在拟合过程中保证极点都具有负的实部，满足系统稳定的条件.而且拟合成的零点-极点型有理函数还可以利用阻抗综合技术得到直观的电阻、电感、电容的电路形式，这是其他方法都无法做到的，方便了后续用于时域方法[11]的仿真，也方便加入到电路仿真软件中仿真分析.但是，已有的采用矢量拟合法建立宏模型的方法通过有理函数拟合建立RL等效电路[12]来实现参数向电路的转换有一定的局限性，仅是通过对二端口模型spice型电路[13]建模走线的等效电路方法进行电路模型的建立，不能解决差分对过孔这样的复杂结构.我们在使用矢量拟合的基础上提出了新的模型形式，从而对单个过孔或者差分对过孔都能很好地拟合出电路模型.

在分析过孔问题时，电路模型的建立[14]是根据过孔的高度、孔径尺寸、焊盘半径等参数估算出过孔的电感值和焊盘的电容值来进行粗糙的过孔建模，此类方法的缺点是对于某些随频率变化的参数，在模型中无法考虑，在高频情况下，此类模型不准确.使用准静的矩量法计算过孔的等效电路模型[15]，能在较低的频段下满足仿真需要，得到的是简单的过孔准静的电感和电容的计算公式，组成简单的П型等效电路模型，针对这种简单П型等效电路可更进一步改进过孔等效电路模型[16-17]，当加入了地平面间的耦合电容，使得仿真的频率有所提高，但过孔电感和焊盘电容的计算方式，仍可使用低频下的计算公式，其地平面间的耦合电容公式是基于特定尺寸下测量值拟合出来的，适用范围会受到限制.

本文提出了先精细建模得到过孔频域参数再将其通过矢量拟合建立成等效电路的方法来解决单个过孔和差分对过孔的信号完整性分析方法.该方法根据过孔的全波模型，推导了一般的单个过孔的电路等效模型提取方法，并且推广到差分对过孔的等效电路，该等效电路模型不仅可以精确仿真过孔的行为，还具有实际电路的物理意义.通过与专业电磁场分析软件的分析结果对比，验证了本文提取的等效电路的正确性，为大规模仿真含有过孔结构的信号完整性仿真提供了有效的方法.

1 理论分析

建模的主要思想是通过全波仿真软件精细建模过孔的模型，第一步先得到过孔的导纳参数或者散射参数.第二步导纳参数(Y参数)经过变换可以得到用于等效电路拟合的参数，对于散射参数(S参数)的情况经过变换为导纳参数之后同样可以推导出用于等效电路拟合的参数.第三步将等效电路拟合之后的参数转换为相应的具有物理意义的等效电路形式.

图1 单个过孔等效电路

通过全波分析软件得到导纳参数之后，建立等效电路的时候是没有直接的对应关系的.所以首先要建立从Y参数矩阵提取П型等效电路的方法，推导出用于拟合的参数形式，如图1所示，对于单个过孔的结构可以看作一个二端口网络.对于一般的二端口网络Y参数为：

I1=Y11·U1+Y12·U2；

I2=Y21·U1+Y22·U2.

(1)

如图1所示，可以得到相应用于拟合的参数YA、YB、YC与电流、电压的对应关系如下所示：

I1=YA·U1+YB·(U1-U2)；

I2=YB·(U2-U1)+YC·U2.

(2)

对于不包含有源器件结构的网络，如过孔这样的结构是可以看作互易网络的，而互易网络有Y12=Y21，所以可以推导出:

YA=Y11+Y12;

YC=Y22+Y12;

YB=-Y12=-Y21.

(3)

对于差分对过孔，可以建立如图2的等效电路结构来映射差分对过孔的Y参数矩阵.

图2 差分对过孔等效电路

差分过孔结构包含了连接两条走线的两个过孔，每条走线的直通通路在1、3端口之间用一个П型等效电路来表示，相互靠近的近端端口(1、2端口)之间也使用一个П型电路来等效，对于远端端口(1、4端口)之间为了表示出其耦合关系也用一个П型电路来等效.建立起图2所示的等效电路后要推导出一般的四端口Y参数与之对应的表达式.这样的等效电路结构包含了差分对所有的耦合信息，一般的差分对过孔的网络电压与电流的对应关系如下：

I1=Y11·U1+Y12·U2+Y13·U3+Y14·U4；

I2=Y21·U1+Y22·U2+Y23·U3+Y24·U4；

I3=Y31·U1+Y32·U2+Y33·U3+Y34·U4；

I4=Y41·U1+Y42·U2+Y43·U3+Y44·U4.

(4)

对应图2的结构可以推出其对应端口用于拟合的参数的电压与电流的表达式：

I1= (YA+YE+YI+YH)·U1+(-YE)·U2+

(-YH)·U3+(-YI)·U4，

I2=(-YE)·U1+(YB+YE+YF+YJ)·U2+

(-YJ)·U3+(-YF)·U4，

I3=(-YH)·U1+(-YJ)·U2+

(YD+YH+YG+YJ)·U3+(-YG)·U4，

I4=(-YI)·U1+(-YF)·U2+(-YG)·U3+

(YC+YF+YG+YI)·U4.

(5)

同样对于差分对过孔这样无源的结构，可以将其看作互易网络处理，同时对照式(4)与式(5)，可以推导出具体的用于拟合的参数表达式：

YA=Y11+Y12+Y13+Y14，

YB=Y21+Y22+Y23+Y24，

YC=Y31+Y32+Y33+Y34，

YD=Y41+Y42+Y43+Y44，

YE=-Y12=-Y21，

YF=-Y24=-Y42，

YG=-Y34=-Y43，

YH=-Y13=-Y31，

YI=-Y14=-Y41，

YJ=-Y23=-Y32.

(6)

由此已经得到了全部的用于拟合参数的具体表达式，通过将其拟合成极点-留数型函数之后就可以对应的找出电路元件表达的具体形式.矢量拟合可以采用文献[8]的方法，将对应的参数进行拟合，得到有理函数的形式,即

(7)

式中：s=jω，ω是角频率； 常数项d和一次项e是实数；ak是极点，一般为实数或者共轭复数对；ck是第k个极点对应的留数；N表示拟合的全部极点的个数.对于常数项d和一次项e，可以对应为电阻和电容，电阻的阻值为1/d，电容值是e.经过拟合之后的N个有理函数的极点均在左半平面，经过整理可以分为M个实极点和(N-M)/2对共轭复极点的情况.

对于实数极点的情况可以表示为式

(8)

通过图3所示的电感与电阻串联支路的形式可以对应地找出电感与电阻的值.于是可以将Yr用导纳的形式写为

图3 RL实数极点-留数对应等效电路

(9)

对比式(8)与式(9)，于是可以推出电阻、电感与极点和留数的关系：

(10)

对于极点和留数是共轭复数对的情况，等效电路形式如图4所示.

图4 共轭复数对对应的等效电路

为了找出RLC电路元件具体的数值，可以将共轭复数对的极点-留数有理函数的形式表示为

(11)

由图4中的电路形式，其在复频域的导纳参数可以写为

(12)

对比式(11)与(12)可以计算出所需要的具体的电路参数值:

(13)

至此已经可以根据拟合出来的零极点情况构成局部等效电路，再由局部等效电路构成П型等效电路模型.

图5 综合的局部等效电路

前面推导出的都是导纳参数，所以电路是并联关系，将M个实数极点和(N-M)/2个共轭复极点的电路全部并联起来组成拟合出来的局部等效形式，如图5所示.例如二端口网络的П等效电路有三个局部等效电路，需要进行三次拟合，形成图5形式的三条支路.如果是差分对过孔的结构则需要拟合出局部等效电路十个，将YA至YJ的所有支路构成局部等效电路组成如图2所示的电路形式.这样就完成了过孔等效电路的建模，之后可以方便地加入信号完整性电路仿真软件中进行仿真.

2 实验结果分析

使用本文推导的单个过孔电路模型提取方法，先对单个过孔的情况进行了仿真.在HFSS中对单个过孔的建模如图6所示.

图6 单个过孔的仿真模型

过孔穿越地平面需要有反焊盘保护来防止短路，一般反焊盘的半径会大于焊盘半径，这里建模时选择了焊盘半径rpad为0.7 mm，反焊盘半径ranti比焊盘半径略大为0.9 mm，过孔的半径rvia为0.6 mm.整个过孔的高度h是0.63 mm，连接上下两段微带传输线，为了仿真需要微带线不可能无限长，截取长度L为5 mm，线宽ω设定为0.6 mm，微带结构填充介质相对介电常数为4.4.先通过这样的精细建模仿真得到Y参数矩阵，再通过第一节中推导的公式，计算出需要拟合的YA、YB、YC参数，通过矢量拟合将这些参数拟合为极点-留数型有理函数.然后根据得到的极点和留数构造出等效电路，最后使用电路模型进行S参数的仿真，电路域的仿真结果再同HFSS仿真的S参数结果比较，从而验证本文单个过孔等效电路的正确性.

针对需要拟合的YA、YB等参数，图7(a)、(b)给出了矢量拟合的结果，可以看到原始YA或者YB参数的实部和虚部曲线在整个带宽内都与拟合的有理函数稳和非常好，这说明了提取出的极点-留数型有理函数可以很好地模拟相应参数在频段内的行为特性.为了缩减篇幅省略了YC参数的拟合效果图，实际计算的YC参数拟合效果与YA，YB的一样，得到的有理函数都能很好地还原原始参数的行为特性，为进一步提取出等效电路提供了保证.对应有理函数的极点和留数情况，使用式(10)、(13)可以计算出相应的电路参数，构成等效的电路，在电路域仿真S参数的结果可以在图7(c)中看到，单个过孔等效电路的S参数与全波专业电磁仿真软件HFSS的仿真结果一致，很好地证明了单个过孔等效电路的有效性.

(a) YA拟合结果

(b) YH拟合结果

(c) 等效电路与HFSS仿真的S参数比对结果图7 单个过孔等效电路仿真结果验证

差分对过孔(如图8)的走线线宽为0.1 mm，线间距Sp为0.1 mm，两个过孔之间的间距Vs为1.5 mm，由于过孔有焊盘和反焊盘，走线到连接过孔的位置就必须采用分叉的连接增加了线间距，过孔的半径rvia为0.15 mm，焊盘半径rpad为0.2 mm，反焊盘半径ranti为0.4 mm，过孔连接上下两段微带线，过孔的整体高度h为0.45 mm，截取的走线长度L为2.6 mm，微带线填充介质相对介电常数4.4.

图8 差分对过孔的仿真模型

(a) YA参数拟合结果

(b) YH参数拟合结果

(c) YI参数拟合结果

(d) 等效电路与HFSS仿真的S参数比对结果图9 差分对过孔等效电路仿真结果验证

由图9(a)～(c)部分的参数拟合结果可以看出，使用矢量拟合针对公式(6)中的YA、YH、YI参数的拟合效果很好.将拟合的有理函数按照之前计算等效电路的方法建立起等效电路，再仿真差分对过孔的S参数，由图9(d)可以看出HFSS仿真结果和等效电路建立的模型的S参数仿真结果一致，因为在HFSS中针对局部的建模是精细的建模，因此差分过孔电路模型很好地保存了这些物理特性，在行为上完全能够模拟过孔的传输特性，同时等效电路可以方便地加入任何电路仿真软件中和其他电路元器件联合仿真，适用于大规模的信号完整性仿真.

3 结 论

通过对二端口和四端口网络参数的推导，导出了适用于建立单个过孔和差分对过孔的用于拟合的参数.再通过矢量拟合将相应的参数拟合成极点-留数型有理函数的形式，将抽取出来的极点和留数映射为相应的RLC局部等效电路，最后把局部等效电路组合成完整的等效电路模型.该模型保留了精细建模过孔的物理特性，在行为仿真上能够替代全波模型用于电路仿真器中.文中提出的等效电路提取方法是针对使用精细建模方法或者实验测量的基础上，对已经得到的单个过孔或者差分过孔的导纳参数进行拟合，使用该方法的频率限制取决于精细建模方法所能达到精确计算结果的限制或者实验测量仪器的带宽限制.所以使用该方法进行正确建模的前提是得到精确的导纳参数，该导纳参数的频带范围应该根据具体问题而分析.在信号完整性分析中一般认为信号的最高频分量为上升时间或者下降时间的80%，相应的仿真所需精确的导纳参数的带宽应为最高频率分量的3到5倍.例如本文中的10 GHz的过孔模型分析，适用于分析的信号上升或者下降时间不超过0.625 ns.相应的如果要进行信号完整性分析中的信号速度越快，上升/下降时间越短，则需要对更高频率的导纳参数进行计算或者测量.通过仿真验证，过孔的等效电路模型仿真结果与HFSS仿真结果一致，证明了等效电路模型的有效性和正确性，该模型可以用于大规模的信号完整性分析.

[1] GREEN L. Understanding the importance of signal integrity[J]. IEEE Circuits and Devices Magazine, 1999, 15(6): 7-10.

[2] NATORI K. A design method of time-delay systems with communication disturbance observer by using Pade approximation[C]//12th IEEE International Workshop on Advanced Motion Control (AMC). Sarajevo, March 25-27, 2012: 1-6.

[3] 秦建军, 殷兆伟, 曹祥玉, 等. 渐近波形估计技术在线天线分析中的应用[J]. 电波科学学报, 2005, 20(6): 824-828.

QIN Jianjun, YIN Zhaowei, CAO Xiangyu, et al. Applications of asymptotic waveform evaluation technique in the analysis of wire antenna[J]. Chinese Journal of Radio Science, 2005, 20(6): 824-828.(in Chinese)

[4] IONESCU T C, ASTOLFI A. Moment matching for linear port Hamiltonian systems[C]// 50th IEEE Conference on Decision and Control and European Control Conference (CDC-ECC). Orlando, December 12-15, 2011: 7164-7169.

[5] WU Jiang. Simultaneous computation of wide-angle and wide-band base on asymptotic waveform evaluation[C]// 2012 International Conference on Computer Science and Electronics Engineering (ICCSEE), March 2012, 2: 359-362

[6] JAGELS C, REICHEL L. Recursion relations for the extended Krylov subspace method[J]. Original Research Article Linear Algebra and its Applications, 2011, 434(7): 1716-1732.

[7] 朱凯然, 何学辉, 郑小保, 等. 基于总体最小二乘的核四极矩共振参数估计[J]. 电波科学学报, 2012, 27(1): 134-140.

ZHU Kairan, HE Xuehui, ZHENG Xiaobao, et al. The estimation of NQR parameters based on total least square[J]. Chinese Journal of Radio Science, 2012, 27(1): 134-140.(in Chinese)

[8] GUSTAVSEN B, SEMLYEN A. rational approximation of frequency domain responses by vector fitting[J].IEEE Trans Power Delivery, 1999, 14(3): 1052-1061.

[9] GUSTAVSEN B. Improving the pole relocating properties of vector fitting[J]. IEEE Trans Power Delivery, 2006, 21(3): 1587-1592.

[10] DESCHRIJVER D, MROZOWSKI M, DHAENE T, et al. Macromodeling of? multiport systems using a fast implementation of the vector fitting method[J].IEEE Microwave and Wireless Components Letters, 2008, 18(6): 383-385.

[11] HOLLOWAY C L, MCKENNA P, JOHNK R T. The effects of gaps in ferrite on both absorber and chamber performance[C]// Proc IEEE 1999 Int Symp Electromagnetic Compatibility. Seattle, August 2-6, 1999: 239-244.

[12] SARTO M S, SCARLATTI A, HOLLOWAY C. On the use of fitting models for the time-domain analysis of problems with frequency-dependent parameters[C]// Proc IEEE 2001 Int Symp Electromagnetic Compatibility. Montreal, August 13-17, 2001: 588-593.

[13]ANTONINI G. SPICE equivalent circuits of frequency-domain responses[J]. IEEE Transactions on Electromagnetic Compatibility, 2003, 45(3): 502-512.

[14] 刘学观, 江盼盼, 郭辉萍, 等. 高速数字信号在PCB 中的传输特性分析[J]. 电波科学学报, 2009, 24(3): 498-517

LIU Xueguan, JIANG Panpan, GUO Huiping, et al. Transmission characteristics of high-speed digital signal in PCB[J]. Chinese Journal of Radio Science, 2009, 24(3): 498-517.(in Chinese)

[15] JOHNSON H, GRAHAM M. High-Speed Digital Design-A Handbook of Black Magic[M]. Saddle River: Prentice Hall, 1993.

[16] ANTONINI G, SCOGNA A C, ORLANDI A. Full-wave modeling of via holes and equivalent circuit extraction for signal integrity analysis[C]//Proceedings of International Symposium on Electromagnetic Compatibility (EMC Europe 2002). Sorrento, September 9-13, 2002.

[17] NGUYEN T V, MORALES A, AGILI S. Characterization of differential via holes using equivalent circuit extraction technique[J]. International Journal of RF and Microwave Computer-Aided Engineering, 2007, 17(6): 552-559