七参数坐标转换研究及应用

周　适

(中铁二局集团有限公司测量中心， 四川成都　610031)

在工程测量中，7参数和4参数坐标转换是经常遇到的坐标转换形式，7参数坐标转换应用范围更为广泛。对7参数坐标转换模型进行详细论述和分析，并用VC++编制7参数程序，对工程实际数据进行演算，分析7参数两种模型计算结果和转换参数。

1　7参数模型分析

7参数坐标转换是三维坐标之间的转换。7个参数包括：3个平移参数ΔX、ΔY、ΔZ，3个旋转参数ωX、ωY、ωZ，1个缩放参数k。当采用7参数坐标转换模型计算7参数时，由于有7个未知参数，因而至少需要3个及以上的同名点才能计算7参数。常用的7参数转换模型包括：布尔莎模型和莫洛金斯基模型。两种模型计算参数不同，但转换后的坐标结果基本一致，现分别对这2种模型进行叙述。

(1)布尔莎模型

布尔莎模型旋转中心为坐标原点，转换模型为式1所示。

(1)

式(1)可以等价变换为式(2)

(2)

若有n个(n≥3)需要坐标转换的点坐标：PA1(XA1、YA1、ZA1)、PA2(XA2、YA2、ZA2)…PAn(XAn、YAn、ZAn)，其转换中需要用到的同名点坐标分别为：PB1(XB1、YB1、ZB1)、PB2(XB2、YB2、ZB2)…PBn(XBn、YBn、ZBn)。则可以列出误差方程式。

(3)

(4)

(2)莫洛金斯基模型

莫洛金斯基旋转中心可以任意选定，实际应用中可以将旋转中心坐标表示为PO(X0、Y0、Z0)，可通过式(5)求得

(5)

其中，PA1(XA1、YA1、ZA1)、PA2(XA2、YA2、ZA2)…PAn(XAn、YAn、ZAn)为转换前的三维坐标，即PA1、PA2…PAn为与同名点点名对应的待转换点的坐标，n为转换中需要的同名点个数。莫洛金斯基旋转模型为式(6)所示。

(6)

(7)

若有n个(n≥3)需要坐标转换的点，则可以列出误差方程式，如式(8)所示。

(8)

(9)

对上述两种7参数转换模型分析，将两个转换模型的系数矩阵B进行对比，由于莫洛金斯基模型矩阵B中很多元素都减去了旋转中心坐标，使得矩阵B中元素的数值大大减小，这在求逆运算(BTB)-1时能保证矩阵获取更高的精度。一般情况下，两种模型计算的3个平移参数不同，但缩放和旋转参数应相同，且计算转换后的坐标结果基本一致。由于两种模型旋转中心不同，布尔莎模型应用于全球性或大范围坐标转换精度更高，而莫洛金斯基模型应用于区域性坐标转换精度更高。

2　实际应用

7参数坐标转换应用范围很广泛。例如不同椭球之间的空间直角坐标可以通过7参数进行坐标转换，RTK放样时利用求得7参数将施工坐标(高斯平面坐标+水准高)转换为放样时用的大地坐标(BLH)，新旧不同坐标系之间的坐标可通过7参数进行转换等。

现以工程中实际数据为例，对7参数模型应用进行叙述说明。

2.1　不同椭球之间的空间直角坐标转换

若已知某控制网为工程独立坐标系，北京1954椭球，给定中央子午线经度和投影面大地高，现利用手持GPS导航，需要经纬度BL。手持GPS导航是基于WGS-84坐标系的经纬度进行导航，而北京54椭球和WGS-84椭球由于椭球参数存在差异，坐标原点不在同一位置，空间直角坐标也不相同，因而可以通过求解7参数进行坐标转换。

现场通过手持GPS采集3个以上控制点单点定位的大地坐标BLH(一般手持GPS均有此功能)，将其转换为空间直角坐标X′Y′Z′，此坐标作为转换中用到的同名点坐标；将北京54平面坐标转换为BL，套上投影面大地高后将其转化为XYZ，此坐标作为待转换的坐标。可通过XYZ向X′Y′Z′坐标转换求解7参数，然后利用求解的7参数计算XYZ转换后的坐标X″Y″Z″，再将7参数转换后的坐标X″Y″Z″转换为大地坐标B′L′H′，此时B′L′即是WGS-84坐标下的经纬度，可以进行导航应用。笔者利用VC++编制7参数程序，计算得出的转换后坐标完全能满足手持GPS导航的精度要求。

2.2　RTK放样时7参数转换的应用

由于RTK放样时放样坐标不是施工坐标(XYh)，而是大地坐标(BLH)，因而需要利用7参数进行坐标转换。下面以一个具体算例作说明。

表1为某工程项目施工坐标XYh(高斯平面坐标XY和正常高h)。

表2为已知同名点的大地坐标。

中央子午线经度为119°，投影面大地高70 m，WGS-84椭球。

将大地坐标BL利用高斯投影正算为平面坐标xy，套上大地高H，变成xyH，计算结果为表3所示。

表1　某工程项目的施工坐标XYh　m

表2　某工程项目的大地坐标BLH

表3　平面坐标xy和大地高H(同名点)　m

利用表1的施工坐标和表3的4个同名点坐标计算7参数，用布尔莎模型和莫洛金斯基模型分别计算，两种不同模型计算的7参数结果如表4所示。

表4　两种模型计算的7参数

利用表4所计算的7参数，可以求得表1施工坐标经过7参数转换后的坐标，互相对比，两个模型计算转换后的坐标结果一致，且残差也很小，如表5所示。

将表5所示7参数转换后的坐标X′Y′H′中的平面坐标X′Y′利用高斯投影反算为BL，套上大地高H′，如表6所示，此结果可以用于RTK放样。

表5　7参数变换后的坐标及残差

表6　转换后可用于RTK放样的大地坐标

上述例子还可以进行如下转换(转换后的坐标结果是一致的)：表1中的施工坐标XYh中的平面坐标XY，先通过高斯投影反算为BL，套上正常高h形成BLh(如果知道高程异常，可以求出大地高，经过测试，7参数转换过程中高程异常对最后转换后的坐标没有影响，只是7参数计算结果不同)，然后转换为空间直角坐标XYZ。表2中的同名点大地坐标BLH，转换为空间直角坐标X′Y′Z′，然后根据转换前的坐标XYZ和同名点坐标X′Y′Z′求解7参数，利用7参数将XYZ转换为X″Y″Z″，再转成大地坐标B′L′H′，此结果与表6所示的结果一致。

布尔莎模型和莫洛金斯基这两种转换模型都是经典的7参数转换模型，但并不是适用于所有三维坐标之间的转换。只有待转换的坐标和同名点坐标(转换后)是同一系统时才适用。比如这两套坐标都是空间直角坐标XYZ时，或者都是施工平面坐标XY加高程h时，方可适用7参数转换模型进行坐标转换。若需要转换的坐标为空间直角坐标XYZ，同名点坐标为施工坐标XYh时，此时试图计算两者之间的7参数，会发现计算的7参数的数值很大，残差也很大，计算结果不可靠。

3　总结

(1)布尔莎模型和莫洛金斯基模型都是经典的7参数转换模型，莫洛金斯基模型与布尔莎模型相比较，在公式中引入了旋转中心，使得求解精度提高。两个模型都是严密的平差模型，计算求得的7参数不同，但利用7参数计算转换后的坐标在一般情况下是一致的。由于两种模型旋转中心不同，布尔莎模型应用于全球性或大范围坐标转换精度更高，而莫洛金斯基模型应用于区域性坐标转换精度更高。

(2)两个7参数坐标转换模型并不适用于所有三维坐标之间的转换，只有待转换坐标和同名点坐标是同一系统时才适用。

(3)7参数坐标转换的精度取决于转换时同名点坐标的精度，同名点至少应3个及以上才能计算7参数。若通过试算发现精度较差的点，应剔除不让其作为同名点，再重新进行7参数坐标转换，计算的结果精度会有所提高。

[1]《误差理论与测量平差基础》编委会.误差理论与测量平差基础[M].武汉：武汉大学出版社，2006

[2]《误差理论与测量平差基础》编委会.现代大地控制测量[M].北京：测绘出版社，2003

[3]《全球定位系统(GPS)的原理与数据处理》编委会.全球定位系统(GPS)的原理与数据处理[M].上海：同济大学出版社，2006