赵爽“勾股圆方图”

在稍后一点的《九章算术》一书中（约在公元50至100年间），勾股定理得到了更加规范的一般性表达. 书中的《勾股章》说：“把勾和股分别自乘，然后把它们的积加起来，再进行开方，便可以得到弦.” 《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉以来的数学成就，共收集了246个数学的应用问题和各个问题的解法，列为九章. 中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明.

最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽. 赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合的方法给出了勾股定理的详细证明. 赵爽的这个证明可谓别具匠心，极富创新意识. 在这幅“勾股圆方图”中，以弦为边长得到的正方形ABDE是由4个相同的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的. 每个直角三角形的面积为■，中间的小正方形边长为b-a，则面积为（b-a）2. 于是便可得如下的式子：

4×（■ab）+（b-a）2=c2

化简后便可得： a2+b2=c2

他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，既具严密性，又具直观性，为中国古代以形证数、形数统一，代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范.

刘徽“青朱出入图”

同一时代的数学家刘徽也是沿用赵爽的方法给出“青朱出入图”，将青、朱两块移出，拼入，便很简单地证明了勾股定理.

刘徽在证明勾股定理时用的也是以形证数的方法，只是具体的分合移补略有不同. 刘徽的证明原来也有一幅图，可惜图已失传，只留下一段文字：“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不动也，合成弦方之幂. 开方除之，即弦也.”后人根据这段文字补了一张图.