勾股定理：提供等量列方程

勾股定理在解决问题时的作用非常大，特别是在计算线段长的问题时勾股定理是常用的定理，但是有些同学在应用勾股定理时，还是觉得有一些难度的，主要问题是对式中的平方形式不适应，其实只要用方程的思想去看勾股定理的应用就一通百通了. 我们先回忆一下勾股定理的内容：在Rt△ABC中（如图1），∠C=90°，AB=c，AC=b，BC=a，则a2+b2=c2.

情形一：观察一下勾股定理的等式a2

+b2=c2，共有三个字母，可以看做三个未知的量，当其中两个量已知的时候，第三个量一定可以求出.

例1 已知a=6，c=10，求b.

解：代入等式得：62+b2=102，解得：b=8.（负值舍去）

情形二：如果三边中只已知一边，另两边都未知，但另两边存有某种关系，未知的两边也是可求的.

例2 一个直角三角形的一直角边为8，斜边比另一直角边多4，求这个三角形的面积.

解：设另一直角边为x，则斜边为x+4，由勾股定理得：82+x2=（x+4）2.

解得：x=6.

所以，三角形的面积为■×8×6=24.

例3 如图2，在Rt△ABC中，∠C=90°， AC=1，BC=3. AB的中垂线DE交BC于点D， 连接AD，求AD的长.

【分析】已知AB的中垂线DE交BC于点D，即D在线段AB的中垂线上，则有AD=BD. 根据BC=3可得到BD+CD=AD+CD=3.这个时候我们来看Rt△ACD，AC的长已知，AD、CD满足和等于3，那么我们不妨设AD=x，则CD=3-x，根据勾股定理列方程就可以求出AD的长.

解：∵D在线段AB的中垂线上，

∴AD=BD.

∵BC=3，∴BD+CD=AD+CD=3.

设AD=x，则CD=3-x，

由勾股定理得：x2=（3-x）2+12，

解得： x=■，∴AD=■.

情形三：利用勾股定理参与表示问题中的量.

例4 如图3，铁路上A、B两站相距25 km，C、D为两村庄，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，已知DA=15 km，CB=10 km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多远的地方？

解：设AE=x km，则BE=（25-x） km，

∵DA⊥AB于点A，∴∠A=90°，

∴DE2=AD2+AE2.

同理，CE2=CB2+BE2.

∵DE=EC，∴CB2+BE2=AD2+AE2，

∴102+（25-x）2=152+x2，

解得：x=10.

答：E站应建在离A站10 km处.

同学们在学习知识时要善于把握知识的本质规律，勾股定理的等式实质可以看作一个三元的方程，在解决问题时用方程的思想来看待勾股定理的应用，也许你就觉得轻松起来.