“滑竿下滑”问题再探究

教材上有“滑竿下滑”问题的探究，体现了勾股定理在这个情境中的重要价值. 现在我们继续围绕“滑竿下滑”问题做出新的探究.

例 如图1所示，滑竿在机械槽内运动，∠ACB为直角，已知滑竿AB长2.5米，顶端A在AC上运动，量得滑竿下端B距C点的距离为1.5米，当端点B向右移动0.5米时，求滑竿顶端A下滑多少米？

对于这个探究问题，在老师点拨时大家能跟在后面做，但自己独立完成时不知从何处下手，往往会使思维受到限制.

【分析】勾股定理是描述直角三角形三边关系的一个重要关系式，是中考的重要知识点之一，它实质上是一个等式，若能用一个未知数将直角三角形的三边表示出来，本题就可以利用勾股定理来列方程，求出相应的边.

解：设AE的长为x米，依题意得CE

=AC-x.

∵AB=DE=2.5，BC=1.5，∠C=90°，

∴AC2=2.52-1.52=4，即AC=2.

∵BD=0.5，

∴在Rt△ECD中，CE2=2.52-（1.5+0.5）2

=2.25，即CE=1.5.

∴2-x=1.5，x=0.5. 即AE=0.5.

答：梯子下滑0.5米.

跟踪训练

1. 如图2，一架长5米的梯子AB斜靠在与地面OM垂直的墙壁ON上，梯子与地面成一个倾斜角，此时OB=■AB. 若梯子顶端A沿NO下滑，同时底端B沿OM向右滑行.如图3，设A点下滑到C点，B点向右滑行到D点，并且AC∶BD=3∶2，试计算梯子顶端A沿NO下滑多少米.

解：在Rt△AOB中，∠O=90°，AB=5（米），

所以OB=■AB=3（米）.

根据勾股定理，得

OA2=AB2-OB2=52-32=42（米）.

若设AC=3x，BD=2x，在Rt△COD中，

OC=4-3x，OD=3+2x，CD=5.

根据勾股定理，得OC2+OD2=CD2，

所以（4-3x）2+（3+2x）2=52，

所以13x2-12x=0，

因为x≠0，所以13x-12=0，即x=■.

所以AC=3x=■.

即梯子顶端A沿NO下滑了■米.