由一道课本习题出发

教材上的例习题都是经过编写专家精心构造、苦心打磨的优秀问题，如何发挥这些优质习题的价值，使我们“入宝山不空返”？下面我们从一道教材习题出发，给同学们做些辅导.

课本习题（苏科版八年级上册，第88页）

如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=9，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E. 求AE、EC的长.

【思路讲解】不妨连接BE，由垂直平分线的性质，容易得到BE=AE，进一步，可在Rt△BCE中由勾股定理构造方程. 设CE=x，则BE=AE=12-x. 得方程x2+92=（12-x）2

解得，x=■.

于是AE=■，CE=■.

【成果扩大】我们很自然地联想到，这个图形中其他线段的长也能求吗？

比如AB是不是很快能得到？进一步AD、BD是不是也很容易求得？还有DE呢？不妨留给同学们自己思考.

不满是向上的阶梯，上面我们稍加思考，就将问题的成果扩大（事实上，随着学习的深入，在九年级我们还有其他方法快速求解上述线段的长），初步达到了“入宝山不空返”. 下面再给出一道同类问题，以期达到“做一题·会一类·通一片”的效果.

变式拓展

如图2，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是BC上一点，AD=BD，若AB=8，BD=5，则CD=______.

【分析】图中有两个直角三角形，若设CD=x，分别在Rt△ABC和Rt△ADC中利用勾股定理列方程，可求得CD的值.

解：设CD=x，在Rt△ABC中，由AC2

+（CD+BD）2=AB2，得到AC2=AB2-（CD+BD）2

=64-（x+5）2 ①

在Rt△ADC中，由AC2+CD2=AD2，得到AC2=AD2-CD2=25-x2 ②

比较①②两式，得到64-（x+5）2=25-x2，解得x=1.4. 即CD的值为1.4.

【点评】勾股定理反映了直角三角形三边之间的数量关系，利用勾股定理列方程思路清晰，直观易懂.

同步训练

1. 如图3，在钝角△ABC中，BC=9，AB=17，AC=10，AD⊥BC的延长线于D. 求AD的长.

2. 某校把一块三角形的废地开辟为动物园，如图4所示，测得AC=80米，BC=60米，AB=100米.

（1） 若入口E在边AB上，且与A、B等距离，求入口E到出口C的最短距离；

（2） 若线段CD是一条小渠，且D点在边AB上，已知水渠的造价为10元/米，则D点距A点多远，水渠的造价最低？最低造价是多少？

参考答案

1. 如图1所示，设CD=x，在直角△ADC中，AD2=AC2-CD2=102-x2；

在直角△ABD中，

AD2=AB2-BD2=172-（9+x）2.

所以172-（9+x）2=102-x2.

解此方程，得x=6.

所以AD=8.

2. （1） 在△ABC中，因为AC=80，BC

=60，AB=100，所以AC2+BC2=AB2，所以∠C

=90°，即△ABC为直角三角形，故入口E到出口C的最短线路就是Rt△ABC斜边的中线CE，又因为CE=■AB=50，所以入口E到出口C的最短线路长为50米；

（2） 如图所示，CD为Rt△ABC斜边上的高时，CD最短，此时水渠造价最低. 所以CD×AB=AC×BC，所以CD=48米，在Rt△ACD中，AC2=AD2+CD2，802=AD2+482，所以AD

=64米. 所以D点距A点64米时，水渠的造价最低，最低造价为48×10=480（元）.