关于丢番图方程x3±27=py2

钱立凯，杜先存

(1.曲靖师范学院 教师教育学院，云南 曲靖 655011； 2. 红河学院 教师教育学院，云南 蒙自 661199)

关于丢番图方程x3±27=py2

钱立凯1，杜先存2

(1.曲靖师范学院 教师教育学院，云南 曲靖 655011； 2. 红河学院 教师教育学院，云南 蒙自 661199)

利用初等方法得出了：p=3(3k+1)(3k+2)+1(k≡1,2(mod4))为奇素数时，丢番图方程x3+27=py2无正整数解；p=3k(k+1)+1≡1(mod8)(n≡k(mod 13))为奇素数时，丢番图方程x3-27=py2无正整数解.

丢番图方程；奇素数；正整数解；同余式

方程：

x3±27=Dy2(x,y∈N,D>0，且无平方因子)

(1)

是一类重要的丢番图方程，其整数解已有不少人研究过.D无6k+1型素数的奇次幂因子时，1988年，曹玉书[1]给出了不定方程(1)的全部整数解；当D无平方因子且不能被6k+1型素数整除时，1996年，倪谷炎[2]给出了p=3时不定方程x3±p3n=Dy2的全部非平凡整数解；高丽和强春丽[3]给出了方程x3±27=28y2的全部整数解；李双娥和林丽娟[4]给出了方程x3+27=7y2的全部整数解；田志勇和罗明[5]给出了方程x3+27=91y2的全部整数解；李双娥[5]给出了方程x3+27=26y2的全部整数解.本文用初等方法给出方程(1)无解的充分条件.

引理1[6]设p是奇素数，如果p=3(3k+1)(3k+2)+1，其中k是非负整数时，则丢番图方程x3+1=3py2无正整数解.

引理2[7]设n≡6(mod13)，D=3n(n+1)+1为奇素数，则不定方程x3-1=3Dy2无正整数解.

定理1 若p=3(3k+1)(3k+2)+1为奇素数，其中k∈N，且k≡1,2(mod4)，则丢番图方程：

x3+27=py2

(2)

无正整数解.

证明ix≡0(mod3)时，易知y≡0(mod9)，所以设x=3x1，y=9y1，则(2)式可化为x13+1=3py12，由引理1知方程x13+1=3py12无正整数解，故方程(2)无正整数解.

ii当x≡0(mod3)时，(2)式可化为(x+3)(x2-3x+9)=py2，又gcd(x+3,x2-3x+9)=1，且p为奇素数，故方程(2)可以分解为以下两种可能的情况：

情形i：x+3=pu2，x2-3x+9=v2，y=uv，gcd(u,v)=1

情形ii：x+3=u2，x2-3x+9=pv2，y=uv，gcd(u,v)=1

以下分别对这两种情形进行讨论：

对情形i,由二式得x=-5，x=0，x=3，x=8，代入第一式均不成立.故情形i无方程(2)的正整数解.

对情形ii,由一式得x=u2-3，因为u2≡0,1(mod4) ，所以x≡1,2(mod4)，故x2-3x+9≡3(mod4)，又因为x2-3x+9为奇数，p为奇素数，故v2为奇数，即v2≡1(mod4).又p=3(3k+1)(3k+2)+1≡3k2+3k+3(mod4)，而k≡1,2(mod4)，故p≡1(mod4)，则pv2≡1(mod4) ，故3≡x2+3x+9=pv2≡1(mod4)，矛盾.故情形ii无方程(2)的正整数解.

综上有方程(2)在题设条件下无正整数解.

定理2 若p=3k(k+1)+1≡1(mod8)为奇素数，k≡6(mod13)，则丢番图方程：

x3-27=py2

(3)

无正整数解.

证明i因为x≡0(mod3)，所以x3-27≡0(mod27)，故py2≡0(mod27)，又因为p是奇素数，故y2≡0(mod27)，即y≡0(mod9)，故设x=3x1，y=9y1，则方程(3)可化为x13-1=3py12，又因为p为奇素数，由引理2知方程x13-1=3py12无正整数解，故方程(3)无正整数解.

ii当x≡0(mod3)时，因为方程(3)可化为(x-3)(x2+3x+9)=py2，又gcd(x+3,x2--3x+9)=1，且p为奇素数，故方程(3)可以分解为以下两种可能的情况：

情形i：x-3=pu2，x2+3x+9=v2，y=uv，gcd(u,v)=1

情形ii：x-3=u2，x2+3x+9=pv2，y=uv，gcd(u,v)=1

对于情形i，由二式得x=-8，x=5，x=-3，x=0，代入第一式均不成立.故情形i无方程(3)的正整数解.

对于情形ii，由一式得x=u2+3，因u2≡0,1,4(mod8)，故x≡3,4,7(mod8)，所以x2+3x+9≡3,5,7(mod8).又因为x2+3x+9为奇数，p为奇素数，所以v2为奇数，则v2≡1(mod8)，又p=3k(k+1)+1≡1(mod8)，则pv2≡1(mod8).所以有3,5,7≡x2+3x+9=pv2≡1(mod8)矛盾,故情形ii无方程(3)的正整数解.

综上有方程(2)在题设条件下无正整数解.

[1] 曹玉书.关于丢番图方程x3±1=Dy2[J].黑龙江大学自然科学学报,1988(2):4-8.

[2] 倪谷炎.关于丢番图方程x3±p3n=Dy2[J].四川大学学报:自然科学版,1996(6):658-664.

[3] 高丽，强春丽.关于不定方程x3±27=28y2[J].云南师范大学学报,2013,33(1):1-3.

[4] 李双娥，林丽娟.关于不定方程x3+27=7y2[J].重庆工商大学学报:自然科学版,2007,24(4):325-327.

[5] 田志勇，罗明.关于不定方程x3+27=91y2[J].重庆工商大学学报:自然科学版,2012,29(1):11-13.

[6] 陈晓化，李志苹.关于Diophantine方程x3+1=3py2[J].重庆工学院学报:自然科学版，2009,23(4)：44-45.

[7] 杜先存，史家银，赵金娥.关于不定方程x3-1=py2[J].西南民族大学学报:自然科学版,2012,38(5):748-751.

OntheDiophantineEquationx3±27=py2

QIAN Li-kai1，DU Xian-cun2

(1.School of Teacher Education,Qujing Normal University,Qujing 655011,China； 2.Teachers’Educational College，Honghe University，Mengzi 661199，China)

Letpbe an odd prime. In this paper，we prove that the indefinite equationx3+27=py2has no positive integer solutions, wherep=3(3k+1)(3k+2)+1(k≡1,2(mod4)).In addition, we also prove that the indefinite equationx3-27=py2has no positive integer solutions, wherep=3k(k+1)+1≡1(mod8)(n≡k(mod13)).

Diophantine equation; odd prime;positive integer solution; congruence

2013-04-03.

云南省教育厅科研基金(2012C199).

钱立凯(1982- )，男(白族)，讲师，硕士，主要从事数学教育及初等数论的研究.

O156

A

1008-8423(2013)02-0182-02