小学数学运算法则的思考与研究

雷笑艳

什么是运算法则？关于数的运算的知识是人们在日常生活和生产实践的经验中抽象出来的，并且逐渐形成了“法则”。运算法则是运算方法和程序的规定，运算法则的理论依据称为算理。运算法则说的是怎样算，算理说的是为什么这样算。通俗地说，小学数学运算法则是用文字表述的运算规定，它是根据算理对运算过程实施细则作出的具体规定，它所反映的是一种规范化的操作程序。数学家史宁中先生曾对运算法则作出这样的评价：数的运算法则是重要的，如果让人类重新开始建立数学，那么，建立起来的新的数学会有多少与现在的数学是一样的呢？大概运算的法则是一样的，其他的就不好说了。

数学在本质上研究的是抽象了的东西。那我们是否有疑问，运算法则有怎样抽象过程。这样我们可以提出一些疑问：运算法则的抽象过程蕴含什么具体环节？运算法则的抽象过程中学生心理有什么变化？运算法则的掌握与具体算式的运算有什么关系？本文试图对上述问题进行剖析。

一个过程：从直观到抽象、概括再到具体化

按照数学科学的要求，数学运算法则的叙述必须严密、准确，都要经过严格的论证。但受小学生认知发展水平和接受能力的限制，众多小学数学运算法则并不进行严格的证明。小学数学运算法则一般采用合情推理，用不完全归纳法或类比法导出。通常都是以现实情境和具体的计算为起点，通过一定数量算式的计算。让学生经历观察、实验、探索、发现同类算式之间的关系、规律，从中发现一些带有规律性的计算方法或具有普遍适用性的运算程序，并对它们经过归纳、猜测、验证等过程上升为运算法则，然后用概括出来的法则指导计算，由此将抽象的运算规定变成具体化的计算过程。简言之，小学生掌握运算法则要经过由直观到抽象、概括再到具体化的心理发展过程。这一过程即“智力活动模式”。

纵观各种版本的小学数学教材，有关运算法则的内容基本上都是按照这种“智力活动模式”编排。如二位数、三位数笔算减法的运算法则。两位数减两位数是学习笔算减法的开始，一般先讲不退位的减法，主要讲先把相同数位对齐，再从个位减起；然后讲退位减法，主要讲个位上不够减，从十位退1，在个位上加10再减。在此基础上类推到三位数减法、多位数减法，但是退位减法，出现了连续退位，需要学生掌握“被减数哪一位上的数不够减，就从前一位退1作十，和本位上的数加起来，再减”的法则。教材先安排了大量有关例题，例题中有大量的图示、直观演示（当前的教材以小棒、方块、计数器为主）和相关的习题让学生用竖式计算。学生计算中逐步发现计算的操作程序，并从这些具有普遍意义的操作程序中概括出三条运算法则规定：（1）相同数位对齐；（2）从个位减起；（3）被减数哪一位上的数不够减，就从前一位退1作十，和本位上的数加起来，再减。紧接着又用这种计算程序进行大量的计算，从而把二位数、三位数笔算减法的法则变成具体的计算过程，完成学生对其运算法则认识的第二次飞跃。运算法则掌握过程的具体模式如表一：

当然，这一学习过程并非在一节课中完成，它的完整形成需要几节课，甚至几个单元的反复理解。

二种变化：从展开的、详尽的思维活动到压缩的、省略的思维活动的过程；从明确意识法则到完全不用意识法则的过程

随着数学教育的改革，人们在争议与商讨中慢慢达成了一些共识：数学学习不再仅仅看作知识技能的获得，而是理解为思维过程。从学习心理学角度看，导出运算法则的思维过程是从展开的、详尽的思维开始，过渡到压缩的、省略的思维。学生掌握运算法则的过程是从明确意识法则到完全不用意识法则的心理过程。

“从展开的、详尽的思维活动到压缩的、省略的思维活动的过程”指起初开始做一类新的运算性质的题时，要求写出详尽的过程，尽量展开。随着学生熟练程度的增强，再逐渐过渡到压缩、省略。经过这种从展开到压缩、详尽到省略的过程，可以加深对演算过程的理解，少出错误。学生学习新运算法则的初期，我们希望学生的思维活动总是按照法则规定的运算步骤一步一步展开的，每一个运算步骤都要在他们的思维过程中详尽地展现出来。这起码有两方面的好处，一是学生便于模仿，二是有助于学生理解相关的算理与运算性质。如学生开始学习除数是小数的除法，计算12.6÷0.28（《义务教育课程标准实验教科书小学数学》（人教版）五年级上册，第22页例6）时，我们引导学生的思维过程按照除数是小数的除法是小数的除法法则规定的程序，通常要经过以下的过程：

1.除数是小数怎么计算？可以把除数转化成整数，同时……；

2.将除数“0.28”的小数点向右移动两位（扩大它的100倍）变成整数“28”；

3.被除数“12.6”的小数点向右移动两位（扩大它的100倍）；

4.被除数“12.6”小数部分的位数不够（怎么办）；

5.在被除数的末尾添一个“0”补足，被除数变成整数“1260”；

6.按照除数是整数的小数除法法则计算“1260÷28”。

当学生对同一类型的运算有了比较熟练的掌握，对所用的运算法则有了全面、深刻的理解以后，在计算中就会逐步压缩运算过程中的某些中间环节，省略和简化其思维过程，成为同一类运算中的一个局部，不再单独地加以考虑了。这时计算除数是小数的这一类运算，就会将其思维过程压缩为两个步骤：1.根据除法商不变性质，将除数是小数的除法算式变成除数是整数的除法算式；2.根据除数是整数的除法法则计算。

从上面的例子和论述我们不难发现，学生学习运算法则初期展开的、详尽的思维过程实际上是一个学生有意识认识、深刻理解法则的过程。展开是为了理解运算性质，详尽是为了让学生按部就班模仿运算过程，确保运算结果的正确性。这对学生发展数学思维的敏捷性、灵活性带来不利，并因运算的繁琐让学生丧失学习数学的兴趣。因此，当学生对所学运算法则有了正确理解，一定量的习题训练后，教师应及时引导他们压缩和简化运算的思维过程，使其计算速度适当加快，以保证学生的思维能力和运算能力得到有效发展。

在这种思维过程中学生的心理过程也起了变化。有研究表明，小学生运用运算法则进行笔算，开始时学生总是通过在头脑里明确意识法则的运算规定去进行计算。即学生运用法则的初期，面对具体的计算任务，他们要靠在头脑里联想法则的运算规定才能计算，并且这种计算通常都是按法则规定的运算步骤去一步一步地展开，甚至有时还伴有对法则运算规定的默诵。如小学二年级学生刚开始学习笔算加法36+35时，列竖式时他们要联想“相同数位对齐”的运算规定，具体计算时要联想“从个位加起”和“个位满10向十位进1”两条运算规定才能完成计算任务。否则，其计算过程就会因为缺乏操作的依据而无法进行。经过一定量的练习，当学生对运算法则掌握得比较熟练后，看到算式就产生“我会”的想法，计算时就完全不用意识法则了，面对具体的算式学生无须去联想法则的运算规定就能直接进行计算，整个计算过程完全变成了一种自动化的演算过程。如学生对整数加法法则有了比较熟练的掌握后，计算时他们根本不用去联想三条运算规定，而是直接联结计算任务和计算过程得出计算的结果。

一个核心：寻找关系

数学是一门“关系学”，懂数学的人都不会反对这个观点。但要认真问起来，什么叫关系？数学中的关系中怎样的？能不能给关系下一个普遍适用的定义，却会使不少人为难。在数学里，可以抽象地给关系下定义：“设A，B是两个集合，由A中元素x和B中元素y配成的序偶〈x，y〉组成的每一个集合R（也就A×B的每一个子集R）都叫做A到B的一个关系。”比方说，a是b的倍数，这是整数之间的一种关系。从数学内容的视角，史宁中先生把数学上的关系具体分成：数量关系、图形关系和随机关系等三类关系。而数学研究的“关系”主要是以下三类：等价关系，其中包括数的相等、和式的相等关系；序关系，其中包括数的大小关系；对应关系，其中包括数量之间的相互依赖关系，即函数关系。

我们寻找的关系，当然也包涵上述的一些关系。然而，我们主要是想从认知结构的建构上探讨，寻找运算法则之间的知识层次、知识间的相互关系及内在联系。

学习和掌握知识不是简单的知识积累（堆砌），它要求学习者在头脑中建立良好的认知结构，包括清晰的知识层次、知识间的相互关系及内在联系，以及其中所蕴涵的数学思想和方法。一些学生之所以不能灵活运用知识，是因为他们头脑储存中缺少网络，或者只是一些无序各自无关的破碎的小网络，甚至是孤立的知识点。当面临解决问题情境时，难以将知识激活，或无法将知识检索出来。而优秀的学生之所以优秀是因为他们头脑中有一张存储有序，严密的、立体的知识网络，其存储方式不是点状，而是由知识组块形成的链状、网状、立体结构，易于激活与提取。教学经验表明，帮助学习者构建连接有序数学知识网络对于深化数学理解尤为重要。可以让学生通过自己的总结做简单小结，比较知识之间的联系与区别、编织结构，使之系统化，从中提炼出思想方法，用高观点统率全局。比如做完一道题后，这道题反映了什么样的知识，关键点在哪儿？碰壁后如何找到正确路子的，还有别的方法吗？有更简单的方法吗？还可引伸吗？经常作这样回顾性的反思总结，评判能力会逐渐提高，这些体验便及时纳入个人认知网络之中，其知识的存储在网络中必然是有序的，编码也是合乎规律的。一个人对学习的体验是有时效性的，如果不及时进行总结反思，体验就会消退，从而失去了将经验上升为规律，将感性上升为理性的时机。下面我们以整数加法的笔算教学（人教版）为例进行分析（见表二）。

分析：整数加法教学，划分为“1到10的加法”、“20以内的进位加法”、“100以内的加法”、“万以内的加法”以及“多位数的加法”。笔算加法的法则：对齐数位；从个位加起；满十向前一位进一。

整数加法的笔算纵向关系：整数加法笔算与小数加法笔算的关系。

整数加法的笔算横向关系：整数加法笔算与整数减法笔算、整数乘法笔算的关系。

我们相信这些关系对数学学习的重要性。但让我们困惑的是，这些关系我们是否都作为课堂教学内容来教吗？在什么时机下教最合适？我们认为教是教不会的。重要的东西，简单地告诉他们，这是怎样怎样重要的，这并不能引起他们的注意。我们强调的是教学上的意识，我们可以引领学生体验一些范例，通过体验、探索、思考、反思，让他们感觉到这些关系对理解数学太重要了。然后，我们启发他们在课堂学习中、课外作业中不断地去感受这些知识间千丝万缕的关系。

二项对教学的启示

在许多人看来，对于运算，会计算就可以了。会计算是比较容易的，要让学生对运算背后的东西有所理解，就有一定的难度；会计算是比较容易的，要让学生心悦诚服地这样算，就有难度。教学实践表明，知道怎样算，但是为什么这样算，知之甚少。

1.教学应基于学生的数学理解而展开

数学学习强调理解，理解是学好数学的关键。学生的理解是有层次的、有水平的，教学就要基于这些水平而展开。有学者从理解的表征转化说、类型层次说出发，特别是基于Hersconvics所提出的理解模型和弗赖登塔尔关于运算学习的4个阶段，提出有理数运算的理解的4种类型：①直观理解：用直观图形来说明运算结果的合理性，也就是能够实现由其他表征到图像表征的转化。②程序理解：按照固定的程序，比如运算法则来解决问题，给出正确的答案。通俗地说来，就是会计算。通常地就是能够实现由书面符号表征到书面符号表征的转化。③抽象理解：用语言、算式等来说明结果的合理性。也就是能够实现书面符号表征、口头语言表征内部的或之间的转化。抽象理解与直观理解的区别是，直观理解要通过直观图像来说明结果的合理性，而抽象的理解是通过口头语言、书面符号等来抽象地说明结果的合理性。④形式理解：用一个已知的规则、规律（相当于数学的公理、定理），基于逻辑推理，来证实运算结果的合理性。也就是能够实现由书面符号表征到书面符号表征的转化。下面我们结合分数除法运算作具体说明（见表三）：

研究表明，学生对于分数除法运算的理解是有层次的，是有水平的。第一水平：程序理解。第二水平：直观理解。第三水平：抽象理解。第四水平：形式理解。也就是说，程序理解最容易获得，形式理解最难获得。

既然学生的理解是有层次的、有水平的，教学就要基于这些水平而展开。特别地，不可过高地提升学生的理解水平。比如，对于5年级学生而言，用语言叙述小数乘法的意义，就不是每一个学生能够达到的。直观理解就更难了。

2.运算法则应基于运算的算理而展开

运算法则是运算方法和程序的规定，运算法则的理论依据称为算理。怎样进行运算，也就是运算的方法（法则）是什么？为什么这样算，运算的算理是什么？很多一线教师提出这样的问题，两者谁更重要些？这的确是一个折磨人的问题。我们试图具体分析两者关系来作简单说明。

运算的算理，即为什么这样算的道理。算理是概括、总结运算法则的依据和基础。学生明白了算理，掌握了运算法则，不仅知其然，也知其所以然，便能适应各种变化了的情况，提高知识的迁移性。比如，可以这样来理解24×13的算理：24×13的意义是求13个24的和，就是求3个24与10个24合起来是多少，所以应该分别求出3个24的和（即24×3）与10个24的和，再加起来。运算的法则，亦即算法和方法。在理解算理的基础上，通过压缩、反身抽象，将运算过程压缩成标准化的运算步骤，进而概括出运算法则。从上面的例子可知，要得到整数乘法的法则，就要在整数加法的基础上，利用“乘法的分配律”， 而这个运算律之所以能够使用，一方面来自直观，另一方面则来自于保持运算的持续性的要求。同样，要得到小数乘法的法则，就要使用在整数乘法中得到的一个规律“因数的变化引起积的变化规律”，之所以整数乘法的规律能够应用到小数乘法，关键是保持运算的持续性的要求。运算的算理中蕴含着大量运算的意义与性质，这些本质的意义与性质具有理解的直观性、一般性以保持运算的持续性。运算的算理贯穿于整个数系，并能让各种运算融合为一个整体。如有理数系的范围内，运算的算理可以确保运算法则的迁移性，从整数乘法的运算法则到小数乘法的运算法则（先按照整数乘法来运算，再确定积的小数位数），再到有理数乘法（先按照非负有理数乘法来运算，再确定积的符号）。正因为运算算理的这些功能，使得各种运算法则以关系的形式构建学生具有可利用性、可辨别性和稳定性的认知结构。简言之，运算的算理是数系扩展的精髓，运算的法则是数系发展到一定阶段的产物。

（作者单位：浙江省杭州市余杭区实验小学）

责编/张晓东