总体最小二乘平差理论及其在测绘数据处理中的应用

鲁铁定

东华理工大学 测绘工程学院，江西 南昌 330013

最小二乘法是测量数据处理的最基本、应用最广泛的方法，对于经典的最小二乘法是只考虑观测向量的误差，假设系数阵没有误差或不考虑系数阵的误差。然而系数矩阵包含误差的情况在测量数据实践中是存在的。总体最小二乘法旨在解决顾及系数矩阵误差的一种数据处理方法。总体最小二乘理论自从Golub在1980年正式命名以来，在数学界掀起了研究热潮，其应用的领域越来越广泛，诸如自动控制、信号处理、图像处理、医学、统计学等。在测绘学科总体最小二乘的研究虽然近几年刚开展，但是已受到越来越多学者的关注，正在成为测绘数据处理研究的热点问题之一。

本文主要针对顾及系数矩阵误差的总体最小二乘平差问题，结合测量数据的特点，较为系统地研究了总体最小二乘平差的数学模型、平差准则、解算公式、精度评定等，将总体最小二乘理论从数学界的解算方法归入测量平差解算的理论体系，并对病态情形下的总体最小二乘平差进行了较为详细的研究，最后结合实例探讨了具体应用。

论文的主要结论和贡献包括：

（1）矩阵分解作为解算总体最小二乘的主要方法，本文首先研究矩阵分解和测量平差模型解算的关系。对矩阵的QR分解和SVD分解相关内容进行了概括，给出了矩阵分解的广义逆矩阵之间的关系；较为深入地探讨了矩阵的QR分解和测量平差解算之间的关系，详细推导了间接平差的QR分解解算公式、推导了最小二乘配置的QR分解解算公式、推导了最小二乘配置的SVD分解解算公式、推导了秩亏自由网的SVD分解解算公式；通过算例验证了推导的几种平差模型矩阵分解解算公式的正确性和算法的有效性。

（2）在总结现有总体最小二乘问题解法的基础上，对总体最小二乘的解算进行进一步研究。论文较为系统地总结了总体最小二乘问题的几种解算方法，根据Schaffrin教授的方法，提出了一种简化的总体最小二乘平差数学模型、平差准则，推导了解算公式；通过算例说明了算法的正确性。对于混合总体最小二乘（LS－TLS）问题，总结了数学上的SVD分解方法，提出了一种混合总体最小二乘问题的平差模型和平差准则，推导了解算公式；通过算例说明了算法的正确性。研究了迭代比较解算方法和SVD分解解法的关系，从理论上证明该解算方法的等价性和一致性。

（3）针对测量数据的特点，研究约束和加权总体最小二乘平差问题。总结了Schaffrin教授推导的附有约束条件的总体最小二乘解算公式，提出了一种简化的附有约束条件的总体最小二乘平差数学模型、平差准则，推导了解算公式。对Schaffrin教授推导的加权总体最小二乘问题解算公式进行了总结，进一步论证了加权总体最小二乘迭代解算公式和SVD分解解法的关系，给出了两者之间互相转换的方法。推导给出了标度总体最小二乘的迭代解算方法，证明了与SVD分解方法之间的等价性，当α＝1时为总体最小二乘问题，当α＝0或α→0时，为最小二乘问题。

（4）针对病态情形下的总体最小二乘平差问题，研究克服或削弱病态性的解法。论文推导了岭估计计算公式，分析探讨了岭参数的选择方法，结合实例进行了分析。基于Tikhonov原理推导了病态情形下总体最小二乘的正则化解算公式。对于病态情形下的总体最小二乘平差问题，分析了截断SVD分解方法，通过算例分析提出了几种截断值k的选择方法。推导了病态情形下加权总体最小二乘问题的正则化方法和截断奇异值解算算法。

（5）最后结合测量实例，论文分析了总体最小二乘的应用。探讨了总体最小二乘在自回归模型解算、反演数据处理、似大地水准面基准转换、地面激光扫描标靶球定位中的应用，比较了总体最小二乘与最小二乘在计算结果方面的异同，比较了解算精度。