中国古代大数系统及启示

李文林

（中国科学院数学与系统科学研究院，100190）

中国古代很早就有表示大数的名词。《诗经》“丰年”篇有“万亿及秭”之说，“亿”“秭”就是两个大数名。毛苌注进一步解释：“数万至万曰亿，数亿至万曰秭。”就是说：“亿”等于一万万，跟今天最常用的大数“亿”一样；“秭”等于一万亿，应该是由亿逐次（十）进位而得。东汉应劭《风俗通义》在万以上出现亿、兆、经（京）、垓、秭、选、载、极等名，相邻两数皆从十进，即10亿为兆，10兆为京，10京为垓，……依此类推。其中的“亿”，按十进位原则等于十万，与《诗经》毛注有别。而毛注“万万曰亿”的万进法在公元3世纪时被延用到亿以上大数：西晋杜预注《春秋》就规定“万万曰亿，万亿曰兆”；三国吴韦昭注《国语》则称“万万兆曰垓”，是由兆万进为京、京万进为垓而来。因此，至公元3世纪，事实上已存在有十进和万进两种大数记数法。

南北朝时期，我国的大数记法有了进一步的发展，出现了以亿、兆、京、垓、秭、壤、沟、涧、正、载十个字为基础的大数名词系统。这十个大数被称为“十等”，按“等”之间的进位关系又确定有三种大数记数法：下数、中数和上数。下数以十为进，即秦汉以前通用的记法。中数“万万变之”，即万万进，首见于公元4世纪的数学著作《孙子算经》（该书中、下数并提）。上数“数穷则变”，即万万为亿，亿亿为兆，兆兆为京……《数术记遗》①中始载。《数术记遗》总括了上、中、下三种大数记法，并认为“下数浅短，记事则不尽。上数宏廓，世不可用。故其传业，惟以中数尔。”自此至宋元，数学家多沿用中数法。明代程大位的《算法统宗》中有“大数”一节，所述大数记法，仍为万万进中数法，只是在“载”之后又增添了“极”“恒河沙”“阿僧秪”“那由他”“不可思议”“无量数”等六个大数，这些新增名词，显然是从佛经借鉴而来。

为了便于了解中国古代几种主要大数记数法表达大数的功能，与现代科学记数法对照列表如下：

十等： （万）， 亿， 兆， 京， 垓， 秭， 壤， 沟， 涧， 正， 载上数： （104） 108 1016 1032 1064 10128 10256 10512 101024 102048 104096中数： （104） 108 1016 1024 1032 1040 1048 1056 1064 1072 1080下数： （104） 105 106 107 108 109 1010 1011 1012 1013 1014万进： （104） 108 1012 1016 1020 1024 1028 1032 1036 1040 1044

在上列不同的系统中，同一个名称表示的大数是不同的。例如“兆”，下数相当于百万，中数就是万万亿了，而在万进制中则为万亿。这似乎易使人产生混乱的感觉（尤其当辞书释意未说明该名词属哪一种大数系统时），其实是相对于不同的进制而言。总体观之，中国古代有着严整有序的大数记数系统，并具有强大的表示大数的功能，仅以上表中的第三等数“京”为例，即使在中数系统中已表示1024，而在上数系统中则已达1032。

综上关于中国古代大数系统之论述，感到对目前大数的定名有以下启示。

一、中国古代大数记数系统是古代文化珍品，当前的大数定名可选择、吸收其优良元素，古为今用。同时也应该认识到，科学计数法毕竟是最简明有效的大数表达工具。无论创造再多的大数名词，面对现代科技、经济和生活中出现的越来越庞大的数字，也总会不敷应用。即便在已有的大数名称中，孤立地拿出一个来，比如“涧”，人们也很难对其大小有具体的概念。在这方面，程大位的看法不无借鉴，他在《算法统宗》中陈列大数名称后指出：“自京垓以后世之罕用，亦不可废，始存之。”

二、关于采用哪一种进位系统的问题，笔者认为可以在中国沿用时间最长的万万进（中数系统）和万进制中选择。由前述可知，万万进的中数系统中，至“京”已能表示达1024量级的大数，而万进系统中同一名称仅表示1016。另一方面，由于清代以来比较普遍地采用了万进系统，人们对其更为熟悉。因此二者各有利弊，可在充分讨论、权衡的基础上择善而从。

三、关于“兆”字的麻烦。无论是选择万万进的中数系统还是万进系统，都将遇到与信息行业中“兆”字定义的冲突。众所周知，随着各种信息产品的流行，作为表示百万的“兆”字已深入千家万户，如果改称“百万”或其他的字，人们会感到很不习惯从而造成某种程度的混乱。但反过来，如果根据“百万为兆”的原则来确定大数名称系统，那么从《诗经》时代以来数千年人们习用的“万万为亿”，就要变成“十万为亿”，十三亿人就要说成一千三百亿人或一百三十兆人，诸如此类，岂不要引起更大的混乱？因此笔者个人以为在目前的情况下，权宜之计是两套系统暂时并存，但逐渐弱化表示百万的“兆”。实际上，信息产品使用的“兆”，实质为字头，而与其并列的其它字头目前均是用外文字头的汉语谐音字来表示之，如“吉”-G（Giga）、“太”-T（Tera），唯独表示百万的Mega使用了中国古代大数名“兆”。逐渐弱化“兆”，突出缩写M，最终以一谐音字来替代，不失为一种过渡方案。

注释

①传本《数术记遗》卷首载：“汉徐岳撰，北周汉中郡守前司棣臣甄鸾注。”钱宝琮考证认为该书实乃甄鸾托名徐岳所作（《中国数学史》，科学出版社，1964）。徐岳，东汉末人，生平无考。甄鸾，生平亦不详，既为北周（557—581）官吏，其活动时代当在公元6世纪。