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分担值与正规定则

2013-03-23张海侠

关键词:亚纯一族正整数

张海侠

(许昌学院数学与统计学院,河南许昌461000)

1 引言及主要结果

1992年,Schwick首先发现了分担值与正规定则之间的联系,证明了下述结果:

定理1[1]设F为区域D内的一族亚纯函数,a1,a2,a3为3个互相判别的复数,若对任意f(z)∈F,f(z)与f′(z)在D内IM分担a1,a2,a3,则F在D内正规.

后来,庞学诚和Lawrence Zalcman改进了定理1,证明了以下的

定理2[2]设F为区域D内的一族亚纯函数,a,b为两个互相判别的复数,若对任意f(z)∈F,f(z)与f′(z)在D内IM分担a,b,则F在D内正规.

2005年,章文华得到下述结果:

定理3[3]设F为单位圆盘Δ上的一族亚纯函数,a是一个非零的有穷复数,若对任意f(z)∈F,f(z)与f′(z)在D内IM分担a,且f的零点是重级的,则F在D内正规.

后来,方明亮和L.Zalcman,叶亚盛和庞学诚得到了如下的

定理4[4]设F为单位圆盘Δ上的一族亚纯函数,a,b为任意两个非零有穷复数,k为正整数且若对于任意的f(z)∈F,f(z)的零点重级至少为k+1,且f(z)=a⇔f(k)(z)=b,则F在Δ上正规.

笔者对上述定理作了一定的改进,得出以下结论,笔者将证明以下定理:

定理5 设F为单位圆盘Δ上的一族亚纯函数,a,b为任意两个非零有穷复数,k,l为正整数且k>l.若对于任意的f(z)∈F,f(z)的零点重级至少为k+1,极点重级至少为2且,则F在Δ上正规.

2 定义及主要引理

为便于叙述并讨论本文的主要结果,在此给出相关的定义及引理.

定义1 设F为复平面一区域D上的一组亚纯函数,如果F中任取一函数序列均可选出一子序列在区域D上按球距内闭一致收敛于一亚纯函数或,则称F在区域D上正规.

定义2 设f(z)和g(z)是区域D内的两个亚纯函数,a是一个复数,若f(z)-a与g(z)-a在D内有相同的零点,则称f(z)与g(z)在区域D内分担a,或称IM分担a.则记为f(z)=a⇔g(z)=a.

定义3 设f(z)和g(z)是区域D内的两个亚纯函数,a是一个复数,如果f(z)-a的零点为zn(n=1,2,…),如果zn(n=1,2,…)也是g(z)的零点(不计重数),或称单向分担a,则记为f(z)=a⇒g(z)=a.

引理1[5](Zalcman引理)设F是单位圆盘Δ上的亚纯函数族,k∈N,F中任一函数f(z)的零点重级至少为k.设存在A≥1,使得对任意的,如果F在z0∈Δ处不正规,则对于任意的0≤α≤k,存在函数列{fn(z)}⊂F,点列zn→z0,正数列ρn→0,使得=gn(ζ)→g(ζ)在复平面C上依球面距离内闭一致成立.其中g为C上的级不超过2的非常数亚纯函数,满足g#(ζ)≤g#(0)=kA+1.这里g#(ζ)=为球面导数.

引理2[6]设f(z)为复平面上的有穷级亚纯函数,b为非零复数,k为正整数.若f(z)的零点重级至少为k+1,极点重级至少为2,且f(k)(z)≠b,则f(z)为一常数.

引理3[7](Hurwitz定理)设函数序列在区域D内解析,并且在D内闭一致收敛到一个不恒为零的函数,γ是D内可求长的闭曲线,其内部属于D,且不经过f(z)的零点,则存在正整数N,使得当n≥N时,在γ内部,fn(z)和f(z)的零点个数是相同的.

3 定理5的证明

证明 假设F在z0∈Δ处不正规,则由引理1知,存在函数列fn(z)∈F,点列zn→z0,正数列ρn→0,使=gn(ζ)→g(ζ)在复平面C的任意紧子集上依球面距离内闭一致成立,其中g(ζ)为C上的级不超过2的非常数亚纯函数,其零点重级至少为k+1,极点重级至少为2.

可以断言:g(k)(ζ)≠a.

假设存在ζ0∈C使得g(k)(ζ0)=a.

若g(k)(ζ)≡a,则g(ζ)为一个k次多项式,这与g(ζ)的零点重级至少为k+1矛盾.因此,g(k)(ζ)不恒等于a.

根据Hurwitz's定理,存在gn(ζ)以及点列ζn→ζ0,使得当n充分大时,有=a由

因此

[1]Schwick.W.Sharing values and normality[J].Arch Math,1992,59:50-54.

[2]Pang Xuecheng,Zalcman L.Normal families and shared values[J].Arkiv for Mathematics,2000,38(1):171-182.

[3]章文华.分担值和正规族[J].数学研究与评论,2005,25(2):307-310.

[4]Fang Mingliang,Zaleman L.Normal families and shared values of meromorphic functions[J].Annales Polonici Mathematici,2003,80:133-141.

[5]Pang Xuecheng,Zalcman L.Normal families and shared values[J].Bull London Math Soc,2000,32(3):325-331.

[6]Hayman W.K.Picard Value of Meromorphic Functions And Their Derivatives[J].Annals of Mathematics,1959,70:9-42

[7]方企勤.复变函数教程[M].北京:北京大学出版社,1996:234-256.

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