n个同型部Q个修理设备的可修表决系统的可靠性分析

张民悦，郑铭海

（兰州理工大学 理学院，甘肃 兰州 730050）

n个同型部Q个修理设备的可修表决系统的可靠性分析

张民悦，郑铭海

（兰州理工大学 理学院，甘肃 兰州 730050）

对由n个同型部件和Q个修理设备组成的表决系统，在部件的工作寿命和维修时间均服从指数分布的条件下作了研究，建立了该系统的一般模型，给出了系统的稳态指标和平均指标，并利用拉普拉斯变换及反演变换求解方程组得到该系统的瞬时指标。

表决系统；Markov过程；拉普拉斯变换；稳态指标

1 引言

表决系统是可靠性分析中常见的系统之一，n中取k的表决系统由n个部件组成，当n个部件中有k个或k个以上部件正常工作时，系统才正常工作(1≤k≤n)。即当失效的部件数大于或等于n-k+1时，系统失效，简记为k/n（G系统）。文献[1]中对n个同型部件和一个修理设备的表决系统作了可靠性分析；文献[2]中对n个同型部件和两个修理设备的表决系统作了可靠性分析；文献[3]中对n个同型部件和k个修理设备的温储备可修系统作了可靠性分析。本文研究具有Q个修理设备的表决系统，假定如下：

假定1 由n个同型部件和Q个修理设备组成的表决系统，当系统有k个或k个以上部件正常工作，系统正常工作（1≤k≤n）。

假定2 当有n-k+1个部件故障，在故障周期内，k-1个正常的部件停止工作，不再发生故障，直到正在修理的部件修理完成，k个正常的部件同时进入工作状态，此时系统重新进入工作状态。当系统多于Q个部件发生故障时，Q个修理设备都参与修理。

假定3 部件的寿命X服从参数为λ(λ＞0)的指数分布F(t)=1-e-λt，t≥0，部件故障后的修理时间Y服从参数为μ(μ＞0)的指数分布F(t)=1-e-μt，t≥0，X与Y相互独立，部件可修复如新。

假定4 在初始时刻t=0时，部件都正常工作。

2 系统状态分析

令X(t)=j表示时刻t系统有j个部件发生故障，j=0, 1, 2 …,n-k+1。因此系统一共有n-k+2个不同的状态：

其中W为工作状态，F为故障状态，可以证明{(),0}X t t≥是状态空间为E的时齐马尔可夫过程，在Δt时间内的状态转移概率为：

进而得到转移概率矩阵为：

3 系统稳态指标和平均指标

矩阵A是一个三对角线矩阵且满足下列方程：进而得到以下递推关系式

进一步求得：

因此系统的可靠性稳态指标和平均指标如下：稳态可用度：

平均故障次数：

系统平均开工时间：

系统平均停工时间：

系统平均周期：

4 系统可靠性瞬时指标

仅对k=n-1的情形求系统可靠性的瞬时指标，对于n-1/(n)G系统，假设时刻0时n个部件都正常工作，令

表示t时刻系统处于状态j的概率，此时pj(t)满足方程组

对上式两边做Laplace变换并反演可得：

其中，s1,s2是方程的两个根，且都小于0。对式(1)的三个等式右边做有理化分式然后反演得：

因此系统的瞬时可用度是：

系统稳态可用度是：系统的瞬时故障频度是：

(0,t]内系统平均故障次数为：

(0,t]内系统平均故障次数为：

为了求系统的可靠度，只需解方程组

等式两边做Laplace变换并反演可得：

其中，,是方程的两个根，进一步可求得：

5 结语

研究了有Q个修理设备的可修表决系统，运用马尔可夫过程理论及拉普拉斯变换推导出系统的稳态指标和瞬时指标，该系统更贴近生产生活实际，具有指导意义。

[1] 曹晋华,程侃.可靠性数学引论[M].北京:科学出版社, 2006:224-228.

[2] 高崇理,郑海鹰.n个同型部件和两个修理设备的可修表决系统的可靠性分析[J].甘肃联合大学学报,2009,23(5): 1-4.

[3] 刘永峰,郑海鹰.n个同型部件和k个修理设备温储备可修系统的可靠性研究[J].温州大学学报,2010,31(3):24-29.

[4] 魏瑛源,唐应辉.n个不同型部件串联而成的M/G/1可修排队系统[J].系统工程理论与实践,2004,24(11):106-110.

[5] 陈砚桥,金家善.可修k/N(G)系统可靠性指标的仿真算法研究.计算机仿真,2008,25(11):115-118.

[6] 孟宪云,李芳.修理工休假且有优先权的冷储备系统维修模型[J].辽宁技术工程大学学报,2011,30(4):592-595.

（责任编辑、校对：赵光峰）

Reliability ofn-Unit Vote Repairable System withQRepair Facility

ZHANG Min-yue, ZHENG Ming-hai

(Faculty of Science, Lanzhou University of Technology, Lanzhou 730050, China)

This paper presents the reliability analysis of the vote repairable system withQrepair facility, under the condition that the working time and repairing time of components are exponential distributions. we set up a model of this kind of system, so the steady-state and average-state can be found, also by using Laplace transform, the instantaneous reliability quantities of the system are obtained.

vote system; Markov process; Laplace transform; steady-state

O211.62

A

1009-9115(2013)02-0022-03

10.3969/j.issn.1009-9115.2013.02.008

2012-10-13

张民悦（1958-），男，河南濮阳人，硕士，教授，研究方向为可靠性数学理论。