余元公式的补充证明

王福章，林 继

（1. 淮北师范大学 数学科学学院，安徽 淮北 235000；2. 河海大学 工程力学系，江苏 南京 210098）

数学与应用数学研究

余元公式的补充证明

王福章1，林 继2

（1. 淮北师范大学 数学科学学院，安徽 淮北 235000；2. 河海大学 工程力学系，江苏 南京 210098）

余元公式是数学分析中的一个重要公式，在积分学中有许多应用。通过交换二重积分次序和积分以及级数理论可以得到余元公式的证明。

数学分析；积分；余元公式

余元公式是由数学分析中的欧拉积分演化而来的，它在许多积分的求解中都有重要的应用[1-3]。部分数学分析教材中仅仅介绍了该公式的具体表达式，没有相关的证明[4]。现有的证明方法利用积分和级数理论研究[5-7]，但仅给出了余元公式的部分证明，并且直接套用了Gamma函数与Beta函数之间的关系式。下面通过交换二重积分次序给出余元公式简洁易懂的证明方法。

1 余元公式

数学分析中给出的余元公式具体表达式如下

其中0＜p＜1为任意常数，Gamma和Beta函数分别为

现有的研究仅局限于(1)式中第二个等号的证明，而第一个等式的证明直接引用了关系式Γ(p)Γ(q)=B(p,q)。下面利用二重积分交换次序的计算证明第一个等式。

2 余元公式的补充证明

引理1 若0＜p＜1，则

证明 对于Gamma函数，作变量替换x=u2，则

所以

考虑区域（如图1）

则上式可写为

图1 区域Dr的构成

利用极坐标变换u=ρcosφ，v=ρsinφ，则(4)式右端二重积分

所以

引理2 若0＜p＜1，则

证明 对于Beta函数，作变量替换=cos2φ x，则

所以

证明 由引理1和引理2可得第一个等式的证明。对于第二个等式的证明，可参阅菲赫金哥尔茨著（徐献瑜，冷生明，梁文骐等译）《微积分学教程》第二卷第三册。

[1] 赵纬经,王贵君.欧拉积分在定积分计算中的应用[J].青海师范大学学报,2008(1):5-8.

[2] 田兵.欧拉积分在求解定积分中的应用[J].阴山学刊, 2009(3):22-24.

[3] 王琪,张国林.欧拉积分在积分学中的应用[J].科教文汇(下旬刊),2011(6):97-98.

[4] 华东师范大学数学系.数学分析下册(第二版)[M].北京:高等教育出版社,2004.

[5] 张励.级数理论在余元公式证明中的应用[J].天津轻工业学院学报,2003,18(3):63-64.

[6] 宋占奎,於全收,燕嬿,等.Beta-Gamma函数对余元公式的推导与实现[J].陕西教育学院学报,2007,23(4):85-88.

[7] 何郁波,罗思雯.余元公式的两种证明方法[J].怀化学院学报,2011,30(11):71-73.

（责任编辑、校对：赵光峰）

Supplementary Proof of the Formula of Complement Variable

WANG Fu-zhang1, LIN Ji2

(1. College of Mathematical Sciences, Huaibei Normal University, Huaibei 235000, China; 2. Department of Engineering Mechanics, Hehai University, Nanjing 210098, China)

The formula of complement variable is a very important formula in mathematical analysis. It has abroad applications in integral calculus. Based on the theory of double integral and progression, we can derive the proof of the formula of complement variable.

Mathematical analysis; integration; the formula of complement variable

O172

A

1009-9115(2013)02-0020-02

10.3969/j.issn.1009-9115.2013.02.007

淮北师范大学青年科研项目（2012xq44），淮北师范大学博士科研启动基金（600571）

2012-12-27

王福章（1984-），男，山东日照人，博士，讲师，研究方向为微分方程数值解法。