域上上三角矩阵空间的保持幂等的函数

樊玉环，王佩臣

（黑龙江工程学院数学系，黑龙江哈尔滨 150001）

研究各种不变量以及不变量保持的映射和变换历来是数学学科领域关注的问题。在矩阵理论研究中，保持问题已成为一个十分活跃的研究领域，一方面是因为它的理论价值；另一方面是因为这些问题在微分方程、系统控制、数理统计等领域有着实际应用背景。关于保持问题的研究，许多学者做了大量的工作，取得了丰厚的成果［1-14］。YAO等研究了全矩阵空间上的保持幂等的函数的形式［1］，文献［2］研究了保持幂等的矩阵加群自同态，随后，大量的文献研究了特殊矩阵空间上的保持幂等的算子［3-4］，但关于特殊矩阵空间上的保持幂等的函数文献至今还没有，本文刻画了上三角矩阵空间上保持幂等的函数的形式，并作为应用，刻画了上三角矩阵空间上保持立方幂等的函数的形式，上三角矩阵空间上保持k-幂等的函数的形式及上三角矩阵空间上保｛1，2｝逆的函数的形式。

1 符号及基本概念

用N表示自然数集，设F是任意给定的域，F＊表示F／｛0｝，Mn（F）为F上所有n阶矩阵的全体，Tn（F）为F上所有n阶上三角矩阵的全体。

定义1［1］称函数f：F→F是域上上三角矩阵空间的保持幂等的函数，如果f满足：

称函数f：F→F是域上上三角矩阵空间的保持立方幂等的函数，如果f满足：

称函数f：F→F是域上上三角矩阵空间的保持｛1，2｝逆的函数，如果f满足：

定义2［15］设k∈N且k≥2，A∈Mn（F），若Ak=A，则称A是k-幂等。特别地，当k=2时，称A是幂等的；当k=3时，称A是立方幂等的。

定义3［15］设A∈Mn（F），如果X∈Mn（F）是矩阵方程AXA=A和XAX=X的解，则称X是A的｛1，2｝逆。

定义4［16］称f：F→F是同态，如果f满足f（a＋b）=f（a）＋f（b），f（ab）=f（a）f（b）。

2 基本结论

定理1 函数f是域上上三角矩阵空间的保持幂等的充要条件是下列结论之一成立：

1）f≡0；2）f≡；3）f是域F上的单的自同态。

证明 充分性显然，下面证明必要性。

步骤1 证明f（0）=0或f（0）=

通过直接计算得到

由式（4）得f（0）=0或f（0）=

步骤2 证明当f（0）=时

在式（3）中令a=1得到

步骤3 证明当f（0）=0时，2种情况f≡0及f是域F上的单的自同态。

将f（0）=0代入式（1）得f2（1）=f（1）。故f（1）=0或1。

下面分2种情况。

第1种情况：f（0）=0，f（1）=0。

将f（0）=0，f（1）=0代入式（2）得f（a）=0，∀a∈F＊，从而f≡0，这就完成了结论1）的证明。

第2种情况：f（0）=0，f（1）=1。

通过计算得到

通过计算得到

应用式（6）及式（7）得到

即

由式（6）及式（8）可得f是域F上的自同态。由式（6）得到

故

由f的定义可知：

通过计算得到

若f（a）=f（b），则应用式（8）、式（9）及式（10）可得a=b。

从而f是域F上的单的自同态。这就完成了结论3）的证明。

作为本定理的应用可得域上上三角矩阵空间的几个定理。

定理2 函数f是域上上三角矩阵空间的保持立方幂等的充要条件是下列结论之一成立：

1）f≡0；2）f≡；4）f=cδ，δ是域F上的单自同态。

在定理2证明中上三角立方幂等矩阵的选取如定理1，式（4）则变成nf3（0）=f（0），从而f（0）=0，-。结论4）中令c=f（1）。

定理3 函数f是域上上三角矩阵空间的保持k-幂等的充要条件是下列结论之一成立：

1）f≡0；2）f≡，ε为k-1次单位根；3）f=cδ，δ是域F上的单自同态。

定理4 函数f是域上上三角矩阵空间的保持｛1，2｝逆的充要条件是下列结论之一成立：

1）f≡0；2；4）f=cδ，δ是域F上的单自同态。

／References：

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