低信噪比下线性调频连续波信号的参数估计

朱文涛 苏 涛 杨 涛 郑纪彬 朱凯然

（西安电子科技大学 雷达信号处理国家重点实验室，陕西 西安710071）

引 言

调频连续波（Frequency Modulated Continuous Wave，FMCW）雷达由于结构简单、体积小、距离分辨率高、无距离盲区、成本低、低功耗和低截获等优点，在军用导航、战场侦察与地面成像等领域得到越来越广泛的应用［1］.锯齿波线性调频连续波（Sawtooth Linear FMCW，SLFMCW）信号和对称三角线性调频连续波（Symmetrical Triangular Linear FMCW，STLFMCW）信号是FMCW 雷达常采用的两种信号形式，因其易实现大的时宽带宽积，也是众多低截获概率（Low Probability of Intercept，LPI）雷达首选的信号形式.然而，当雷达综合多种LPI措施发射该信号进行侦察时，对非协作性的电子侦察而言，实现低信噪比条件下信号检测和参数估计存在较大的挑战和困难，因此快速有效地实现长时间积累是实现信号侦察的必要手段.文献［2］利用高阶统计量对噪声不敏感的优点，结合滤波器组取得了较好效果，文献［3］在文献［2］基础上进行了改进，减小了计算量，但是滤波器组设计和选择限制了该两种方法参数估计的性能.文献［4］利用线积分Wigner-Hough变换进行STLFMCW信号特征提取，然而该算法受交叉项的干扰且需要依次估计每段线性调频（Linear Frequency Modulated，LFM）信号的参数才能实现信号参数的估计，计算十分耗时.文献［5］提出了联合Radon-Ambiguity变换和分数阶傅里叶变换（Fractional Fourier Transform，FRFT）的信号检测与参数估计算法，与Wigner-Hough变换相比，把2维搜索降低为1维搜索，降低了参数估计运算量，得到较好的参数估计结果.但由于SLFMCW信号的Wigner-Ville分布和Ambiguity变换为周期函数，文献［4-5］通过简单的Radon变换或Hough变换只能利用一个周期的能量，基于此，文献［6］提出一种基于周期Wigner-Hough变换的SLFMCW信号检测和参数估计算法，然而该算法需要对所有参数进行全局搜索，计算量非常庞大，不适合实际应用.为了避免双线性变换带来的交叉项干扰，文献［7］提出了一种基于短时傅里叶变换的SLFMCW信号参数估计方法，然而该算法受短时傅里叶变换分辨率及信号谐波分量的影响.文献［8］利用FRFT的线性性质并结合聚类分析实现了两个整周期STLFMCW信号的检测与估计，然而该方法仅有效利用了一个周期信号的能量并且没有考虑起始时间、时延和样本长度对参数估计的影响，适应性较差.文献［9］提出了一种基于Chirplet变换的稀疏检测算法，但该算法系数的迭代选择方法和庞大的计算量限制了其实际应用.

针对上述问题，基于LFMCW信号的周期性和分段相干性，提出了一种联合帧间相关法和循环平稳法的线性调频连续波信号参数估计算法.该方法可有效地估计信号的周期、调频率、起始频率和起始时间，不受设计参数的限制，并且可实现长时间积累，可在较低的信噪比下对信号进行有效的检测和参数估计，其运算复杂度低，利于工程实现.

1 理论分析

1.1 LFMCW信号模型

为了方便说明，以SLFMCW信号作为信号模型.SLFMCW信号由一个线性调频信号周期延拓而成，其时频分布如图1中粗虚线所示，用z（t）表示，其第m个周期表示为

图1 SLFMCW信号的时频分布

式中：A为信号幅度；f0为起始频率；μ＝B／T为调频率，B为调制带宽，T为调制周期；θ0为随机初相.实际中，雷达侦察接收机不能保证截获LFMCW信号的起始时间为0，其时频分布如图1粗实线所示，用z′（t）表示，其第m个周期表示为

式中：θ′0为截获信号的初相；mod（t，T）表示t对T取余运算；τm为起始时间；Tobs为观测时间.由图1可知，z′m（t）由Am的一部分和Am＋1的一部分组成，其中Am可以具体表示为

假设接收机实际接收到的雷达信号模型为

式中：z′（t）由式（2）决定；w（t）是均值为0，方差为σ2的高斯白噪声，信号的输入信噪比为RSN，in＝A2／σ2.

由式（2）可知，接收机截获信号的起始时间τm是随机的，该随机性对多数已有算法的检测和参数估计性能会产生一些影响，主要表现为两个方面：第一，τm改变信号Wigner-Hough变换或Radon-Ambiguity变换的尖峰幅度或位置；第二，τm改变信号FRFT的尖峰幅度和位置.由于信号的相位参数可由上述尖峰幅度和位置得到，那么尖峰位置和幅度的变化会导致参数估计性能下降，甚至估计不准确.另外，大多数算法受设计参数的限制并且没有充分利用LFMCW信号的周期性，其中，一些算法［8］由于只利用一个周期信号的能量，不能实现长时间积累，其性能受到限制；而另一些算法［2-7，9］虽然可实现长时间积累，但由于噪声、设计参数和庞大计算量也限制了其性能和实际应用.因此，设计一个计算复杂度低、对起始时间τm不敏感、不受设计参数限制且可实现长时间积累的方法是LFMCW信号检测与参数估计的重点之一.

1.2 LFMCW信号的检测与参数估计

1.2.1 变窗长相干平均法提高信噪比增益

由图1可知，接收信号r（t）长度为Tobs，将r（t）以窗长T0分成一组并行序列，构成一个矩阵A为

式中：A为M×T0阶矩阵示下取整运算；（i-1）T0≤ti≤iT0；T表示转置.将A按行向量求平均可得

当且仅当T0＝kT时（k＝1，2，…），信号z′（ti）是完全相干的，默认取k＝1，则式（6）变为

此时，信号的功率为A2，输出信噪比为

由此可以看出：当T0＝T时，经过相干平均后信噪比提高了M倍；同理，当T0≠T时，由于z′（ti）之间不完全相干，输出信噪比增益小于M.

1.2.2 帧间相关法估计LFMCW信号周期

由式（5）可知，将r（t）以窗长T0分成一组并行序列，可构成一个M×T0矩阵A.假设信号的周期T已知，令矩阵A为1帧，则该帧是周期的，该帧周期k1满足

式中：k1与k2均取整数，且k2的取值要保证k1是最小的正整数.

为了便于分析，假设A包含m（m为偶数）个周期，则M＝mk1且M为偶数.将A的行向量按照奇偶分成两组序列，分别构成矩阵Aodd和Aeven，且有

式中：Aodd为M／2×T0阶奇数帧矩阵；Aeven为M／2×T0阶偶数帧矩阵.分别对Aodd和Aeven进行式（6）处理，得到两个长度为T0的序列rodd（t′）和reven（t′）.对rodd（t′）和reven（t′）进行相关处理，有

当k1＝k2＝1时，T0＝T，将Aodd和Aeven分别看作一个集合，则Aodd和Aeven中期望信号的交集为，由此可得，zodd（t′）和zeven（t′）的相关结果zoe（t′）为零频信号，其零频分量的幅度为A2T.考虑噪声的影响，由式（6）可知，rodd（t′）和reven（t′）的信噪比分别提高了M／2倍，且对应的噪声是互不相关的，因此，roe（t′）为信噪比较高的零频信号.

同理，当k1＞1且k1为偶数时，Aodd和Aeven的交集为空集，则zodd（t′）和zeven（t′）的相关结果zoe（t′）没有零频信号.噪声的影响同上.

当k1＞1且k1为奇数时，Aodd和Aeven的交集为Aodd或Aeven，则zodd（t′）和zeven（t′）分别为k1个幅度为A／k1的序列相加的结果，因此，zodd（t′）和zeven（t′）的相关结果zoe（t′）包含零频信号和非零频信号，其零频分量的幅度为（1／k1）·A2T0，噪声的影响同上.需要说明的是，当k1＞1且k1为奇数时零频分量的幅度对k1＝1时的幅度影响较小，其比值为

零频分量只需简单的求和运算即可实现.

将接收信号按照具有一定搜索范围的窗长T0分成奇数帧和偶数帧，对奇数帧和偶数帧进行相干平均处理，将处理的结果进行相关处理得到roe（t′），对roe（t′）进行求和运算即可完成信号的检测和周期的精确估计，称该方法为帧间相关法.该方法只需要简单的复乘和复加，计算量较小，并且可以实现并行处理，可进一步减小运算时间.

1.2.3 基于循环平稳法的相位参数估计

循环平稳法在保证较低计算复杂度的条件下可快速实现信号的检测和调频率的估计［11］，在实际中常采用

计算信号的循环自相关.式中：ξ（t）为待处理的信号；TL为信号长度；τ为延迟时间.若式（13）的结果超过了非模糊区间（0，fs］，则α会出现模糊，可通过简单的模糊数搜索解决，实际的α′＝α＋kαfs，kα为模糊次数，fs为采样率.

帧间相关法可得到周期的精确估计，即T0＝T，则将式（7）代入式（13）中，并取期望有

式中：c1＝A2ej2π（f0τ＋μτmτ＋μτ2／2）（c′1＋c″1e-j2πμTτ），c′1和c″1为频点μτ对应的有效长度，c′1＝T-τm-τ，c′2为频点μ（τ-T）对应的有效长度，c′2＝τ.对于高斯白噪声，若τ≠0，（τ）＝0，则（τ）在循环频率上分布比较均匀，没有明显突起的峰；信号在频点μτ或μ（τ-T）处有突起的尖峰，因此，通过检测尖峰可实现信号的检测.

当τm改变时，式（14）变为

式中d1和d2同c1和c2.由式（14）和（15）可知：τm的变化只改变了频点的幅度，而没有改变频点.τ值已知时，由尖峰对应的频点可以估计调频率μ.因此，给定合适的τ值，利用循环自相关法可实现调频率的估计.

图2 本文算法信号处理流程图

2 实验结果分析

LFMCW信号仿真参数：子脉冲数为40，调制带宽为400MHz，周期为1μs，载频为120MHz，采样频率为640MHz，起始时间为0.25μs.

2.1 计算量分析

帧间相关法有效地减小了处理信号的长度，从而大大降低了计算量.已知接收信号的长度为Tobs，对于窗长T0，帧间相关法只需要（M-1）T0次复加和T0次复乘，令则完成周期估计约需要NT（M-1）T0次复加和NTT0次复乘，其中，NT＝Tend-Tbegin；对T点信号进行循环自相关处理，其中快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）的运算点数为T1，该处理需要T＋T1／2·l b（T1）次复乘和T1l b（T1）次复加，因此，完成周期和调频率估计约需要的复加和复乘次数分别为NT（M-1）T0＋T1l b（T1）和NTT0＋T＋T1／2·l b（T1）.目前常用算法的计算量都大于本文算法（文献［7］除外），具体的计算量比较如表1所示. 表中：Nα为分数阶傅里叶变换旋转角度的个数；L为子带个数；Q为子带长度，P为大于Q的整数且为2的整数次幂；Nradon为Radon变换的复加次数为短时傅里叶变换的窗长，γ为相邻两个窗在时域上的重叠率，TSTFT为大于Tstft的整数且为2的整数次幂，为大于Nstft的整数且为2的整数次幂；WVD表示Wigner-Ville分布.

表1 常用算法计算量比较

2.2 仿真实验

实验1 在信噪比为-15dB条件下给出了参数估计的仿真结果图，如图3～6所示.图3为周期估计的仿真结果，该图为帧间相关处理后的结果，根据图中尖峰的位置和T0的搜索起点可精确估计周期，仿真试验中，T0的起点为100，峰值位置为541，周期的估计则为640，该值就是信号的周期在给定采样率下对应的点数.图4为调频率估计的仿真结果图，该图为循环自相关处理的结果，由图中尖峰对应的频率和给定的延迟时间τ，可以得到调频率的估计.图5为起始时间估计的仿真结果图，该图给出了一条峰值变化曲线，根据该曲线的最小值可以得到起始时间的估计.图6为起始频率的仿真结果图，由于消除了起始时间的影响，图中尖峰对应的频率即为起始频率的有效估计.

图3 周期估计的仿真结果图

实验2 利用均方根误差ERMS曲线验证算法的性能，并与文献［3，5，7-8］进行比较.利用Monte Carlo法，信噪比从-20dB开始，以1dB为步长递增至0dB，每个信噪比条件下模拟200次.均方根误差定义为其中Nr为Monte Carlo实验的次数，为第r次Monte Carlo实验中参数p的估计值.循环自相关运算采用FFT快速算法，通过插值使得FFT运算点数为1 024.图7～10分别给出了调频率、周期、起始时间和起始频率的均方根误差比较图，其中文献［3，5，7-8］没有估计起始时间，并且文献［5，8］由于没有考虑起始时间的影响，其起始频率对应的均方根误差较大，并且随着起始时间的改变而变化，文献［8］不用估计起始时间也可对起始频率进行估计，但是由于受时频分布曲线的影响，在信噪比小于-8 dB时误差很大，如图10所示.本文方法由于采用相干积累实现信号的长时间积累，并降低了起始时间导致的负面影响，可以在较低信噪比条件下对信号参数进行有效的估计.由图7～10可以看出：本文所提方法在周期个数为40且信噪比为-16dB时仍能有效地估计信号参数，证明了较优的抗噪声性能.

图4 调频率估计的仿真结果图

图5 起始时间估计的仿真结果图

图6 起始频率估计的仿真结果图

图7 调频率估计的均方根误差

图8 周期估计的均方根误差

图9 起始时间估计的均方根误差

实验3 不同周期个数时本文算法的检测性能比较.图11给出了周期个数分别为1、10、20、40、80、120、160、200、240、280、320、360、400条件下本文算法的最低可检测信噪比曲线，这里最低可检测信噪比定义为：在N次Monte Carlo实验中，本文算法中帧间相关法可正确检测到尖峰的概率大于等于95%的最低信噪比.由图11可以看出，本文算法的检测性能随着周期个数的增加而提高.

图10 起始频率估计的均方根误差

图11 不同周期个数条件下的性能比较

3 结 论

利用LFMCW信号的周期性及每个周期的循环自相关结果对起始时间不敏感的特性，提出了一种LFMCW信号的参数估计方法.首先利用帧间相关法实现信号的检测和周期的精确估计，然后利用循环平稳法完成信号相位参数的估计.由于采用长时间积累，该方法可在较低信噪比条件下对信号的周期、调频率、起始时间和起始频率进行有效估计，并且其计算复杂度低，利于工程实现.

［1］杨 俭，侯海平，曲长文，等.机载下视阵列合成孔径雷达成像的微多普勒效应［J］.电波科学学报，2012，27（5）：1049-1055.YANG Jian，HOU Haiping，QU Changwen，et al.Micro-Doppler effect for airborne downward-looking array SAR imaging［J］.Chinese Journal of Radio Science，2012，34（8）：1879-1884.

［2］戴幻尧，蒋鸿宇.基于滤波器组和高阶累积量技术的LPI信号特征检测的新方法［J］.系统工程与电子技术，2009，31（6）：1336-1340.DAI Huanyao，JIANG Hongyu.Research on LPI signals feature detection based on parallel filter bank and higher order cumulants［J］.Systems Engineering and Electronics，2009，31（6）：1336-1340.（in Chinese）

［3］冯志红，赖 涛，赵拥军.低信噪比下对称三角线性调频信号参数估计［J］.电波科学学报，2012，3（27）：520-525.FENG Zhihong，LAI Tao，ZHAO Yongjun.Parameter estimation of STLFMCW signals in low SNR［J］.Chinese Journal of Radio Science，2012，3（27）：520-525.（in Chinese）

［4］LIU Feng，XU Huifa，SUN Dapeng，et al.Feature extraction of symmetrical triangular LFMCW signal using Wigner-Hough transform［J］.Journal of Beijing Institute of Technology，2009，18（4）：478-483.

［5］袁伟明，王 敏，吴顺君.对称三角线性调频连续波信号的检测与参数估计［J］.电波科学学报，2005，20（5）：594-597.YUAN Weiming，WANG Min，WU Shunjun.Detection and parameter estimation of symmetrical triangular linear frequency modulation continuous wave signal［J］.Chinese Journal of Radio Science，2005，20（5）：594-597.（in Chinese）

［6］GEROLEO F G，PEARCE M B.Detection and estimation of LFMCW radar signals［J］.IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems，2012，48（1）：405-418.

［7］钱云襄，刘 渝，黄慧慧.线性调频连续波信号参数估计算法［J］.现代雷达，2006，28（3）：40-43.QIAN Yunxiang，LIU Yu，HUANG Huihui.Parameters estimation of LFMCW signals［J］.Modern Radar，2006，28（3）：40-43.（in Chinese）

［8］刘 峰，徐会法，陶 然.基于FRFT的对称三角LFMCW信号检测与参数估计［J］.电子与信息学报，2011，30（8）：1864-1870.LIU Feng，XU Huifa，TAO Ran.Detection and parameter estimation of symmetrical triangular LFMCW signal based on fractional Fourier transform［J］.Journal of Electronics ＆Information Technology，2011，30（8）：1864-1870.（in Chinese）

［9］MILLIOZ F，DAVIES M.Sparse detection in the chirplet transform：application to FMCW radar signals［J］.IEEE Transactions on Signal Processing，2012，60（6）：2800-2813.

［10］陈志菲，孙进才，牛奕龙.基于相干平均的正弦信号频率估计［J］.西北工业大学学报，2009，27（3）：387-390.CHEN Zhifei，SUN Jincai，NIU Yilong.A better method of frequency estimation for sinusoidal signals using coherent average［J］.Journal of Northwestern Polytechnical University，2009，27（3）：387-390.（in Chinese）

［11］金 艳，姬红兵.一种基于循环平稳的Chirp信号相位参数估计迭代算法［J］.电子与信息学报，2008，30（4）：868-871.JIN Yan，JI Hongbing.A cyclostationarity based iterative algorithm for chirp signal phase parameter estimation［J］.Journal of Electronics ＆Information Technology，2008，30（4）：868-871.（in Chinese）