基于双调频斜率的分布式星载雷达波形设计

宗竹林 胡剑浩 朱立东 张顺生

(1.电子科技大学电子科学技术研究院，四川 成都 611731； 2.电子科技大学通信抗干扰技术国家级重点实验室，四川 成都 611731)

引 言

在具有多发功能的分布式星载雷达[1-5]体制下，由于卫星信号间相互干扰，多颗卫星必须发射互不相干的正交波形才能使各卫星接收的目标回波信号相互独立，从而实现各发射信号的区分与联合信号处理.此外，由于分布式卫星是一个高速运动的平台，因此卫星发射的波形应对多普勒不太敏感.

在正交波形设计及优化方面，Hai Deng通过对一组离散频率进行编码，设计了离散频率编码波形，并借助于模拟退火算法进行优化设计，得到正交性能较好的正交离散频率编码波形[6]；利用同样的方法，他对正交多相编码波形进行了优化[7].2006年，刘波和何子述等人在文献[6-7]的基础上用遗传算法和邻域搜索的方法对正交多相码和正交频率编码波形进行了优化[8]，使得波形的正交性能和算法的优化速度都比Hai Deng的方法要好而且快.文献[9]结合稀疏模型对正交离散频率编码波形进行了优化设计，提高了多输入多输出(Multiple-Input Multiple-Output， MIMO)雷达的参数估计性能.为解决距离模糊问题，文献[10]对双脉冲信号进行正交编码，并用遗传算法进行了正交优化.但是这些方法设计的正交波形对多普勒频率很敏感.

文献[11-12]通过对不同的雷达分配不同的载频来实现正交，并利用最大似然估计算法对波形的克劳美门限进行了分析.文献[13]通过对不同的子天线在不同的频带上分配斜率相反的线性调频信号实现正交，从而实现了MIMO合成孔径雷达(Synthetic Aperture Radar，SAR)宽测绘带成像.Aboulnasr Hassanien通过发射不同的子波束形成正交发射，在接收端通过子波束正交合成的方法来提高MIMO雷达的分辨率[14].这些方法虽然涉及距离分辨性能的提高，但由于其通过频分来实现正交，大大增加了编队卫星雷达系统对带宽的要求.

为缓解上述不利因素的影响，本文提出对同一载频、同一时宽和带宽的线性调频(Linear Frequency Modulation，LFM)信号在时间轴上等分成两段，每段信号采用不同的调频斜率进行调制，生成的新波形，称之为双调频斜率(Double Frequency Slope，DFS)信号.本文首先给出了分布式星载雷达的DFS发射信号模型，重点研究了该信号的正交、分辨率以及多普勒容忍等方面的性能，推导了分布式星载雷达发射波形参数之间的关系，并提出了基于双调频子斜率的参数设计方法.

1 DFS发射信号模型

对同一载频、同一时宽和带宽的LFM信号在时间轴上二等分，并为每段信号设置各自的调频斜率，则DFS发射信号Sm(t)可表示为

(1)

式中：m=1,2,…,M，M为卫星的个数；kmn(n=1,2)为第m颗卫星的两个调频子斜率；km0=0；Tb=T/2为各斜率分量的持续时间，T为整个发射信号的持续时间，称各调频子斜率分量对应的信号为DFS信号的子信号，各子信号的频谱互不交叠，其时频图如图1所示.

图1 DFS信号时频图

由于所有发射信号共享同一带宽B，因此，分布式星载雷达各卫星信号的斜率约束条件为

(2)

2 DFS信号的性能分析

2.1 DFS信号的自相关性及距离分辨性能

由于各子信号对应的频谱互不交叠，各子信号互不相关，DFS信号的自相关性主要由同一子带宽下相同斜率的子信号决定.不失一般性，忽略目标的传输时延，则DFS信号的自相关函数为

(3)

式中，φmn(τ) =exp[j2πf0τ+j2πkm,n-1Tbτ-

当τ=0时，DFS信号的自相关达到峰值1，自相关函数的-3 dB主瓣宽度为

(4)

则对应的距离分辨率ρr为

(5)

式中c为光速.因此，DFS信号的距离分辨率由信号的总带宽决定.然而，距离分辨性能并不仅仅关注-3 dB主瓣，还需考虑各旁瓣的影响，因为旁瓣过大会导致虚假目标产生.

由式(3)可知，DFS信号的自相关函数为两个子信号的自相关值之和，即为两个辛格函数的叠加.由于各子信号具有相同的时宽和不同的调频斜率，导致它们各自的带宽和自相关主瓣宽度也不相同.当调频斜率差较大时，不同子信号自相关主瓣的叠加将使DFS信号的自相关主瓣展宽，当某个子信号的调频斜率与平均调频斜率之差增大到k/2时，该子信号的主瓣便扩展到DFS信号的第一旁瓣，随着子信号主瓣的扩展，对DFS信号旁瓣的影响也将逐步显著.因此，为减小调频斜率差对主瓣的影响，在进行波形设计时，应将子信号的最小调频斜率与平均调频斜率(k=B/T)之差控制在k/2以内，即

(6)

因此，要使主瓣尽可能窄，旁瓣尽可能低，各子信号间的调频斜率差应尽可能小.

那么，调频斜率差可否降为零呢？当调频斜率差变为零后，各子信号的调频斜率相等，从式(1)可以看出，DFS信号退变为一个LFM信号，因此不再具有正交性，下面通过其互相关性进行具体分析.

2.2 DFS信号的互相关性

由于频谱不重叠的各子信号互不相关，因此DFS信号的互相关函数仅需要考虑同一频带范围内不同调频斜率子信号的互相关值，设Cmpq为同一子带宽内不同调频斜率的p子信号和q子信号的互相关函数，忽略各子带宽信号的载频，可得

(7)

式中,Δkmpq=kmp-kmq.

CF(u2)]+j[SF(u1)-SF(u2)]}.

(8)

由式(8)可求得DFS信号互相关函数的幅度和相位分别为

(9)

根据Fresnel积分的性质，当ΔkTb2≥1时，Fresnel纹波很小，信号能量主要集中在[0,ΔkTb]或[ΔkTb,0]范围内.随着ΔkTb2的增大，不同调频斜率的线性调频信号的互相关函数越接近于矩形，能量峰值越小，互相关性能越好.因此，在大ΔkTb2值情况下，式(9)可简化为

(10)

当任意两颗卫星发射的DFS信号的所有子信号调频斜率差相等时，如卫星m1的发射波形与卫星m2的发射波形的所有子信号的调频斜率差均为Δkm1m2，则卫星m1的接收信号与自己发射波形的互相关值可表示为

(11)

为了保证不同卫星的信号总带宽相等，两个发射信号的两个子信号的斜率差会同时存在正斜率差和负斜率差，分别用Δkm1m2+和Δkm1m2-表示，两种斜率差的互相关值在时域混叠在一起，混叠部分的互相关值为两种斜率互相关值的和，表示为

(12)

由式(12)可知，DFS信号互相关函数的最大值由发射信号各子信号之间斜率差决定，当各子信号间的调频斜率差越大时，匹配滤波的输出主副比越大，来自不同卫星的信号也越容易被区分开来.

除自相关和互相关性能外，由于正交波形往往对多普勒敏感，下面对DFS信号的多普勒敏感性进行具体分析，并推导多普勒容限.

2.3 DFS信号的多普勒敏感性分析

信号的多普勒敏感性主要是指回波信号经匹配滤波后因多普勒偏移造成峰值功率衰减的程度，它能够容忍的最大多普勒偏移定义为多普勒容限[11].本文定义功率下降为峰值功率的一半时对应的多普勒为多普勒容限fmd.

利用模糊函数工具，从时延和多普勒频移的角度来分析DFS信号.DFS信号Sm的模糊函数定义为

exp(j2πfdt)dt.

(13)

将式(1)代入式(13)，得DFS信号的模糊函数为

sinc[πTb(kmnτ+fd)]，|τ|≤Tb.

(14)

式中：φmn1(τ;fd)为与调频斜率无关的相位函数，φmn2(τ;kmn)为与调频斜率有关的相位函数，且有

φmn1(τ;fd)=exp[j2πf0τ+jπτfd]，

(15)

由于多普勒的存在，辛格信号出现峰值时的时间不再是τ=0时刻，而是τ=-fd/kmn时刻.又因为DFS信号包含两个调频斜率，因此不同调频斜率对应的子信号将不能同时到达峰值，即信号的相关能量将出现衰减，下面来求多普勒容限.

根据多普勒容限的定义，我们知道，多普勒容限fmd为满足

(16)

情况下fd的极大值.通常情况下fd≪kmn，τ→0，则相位项φmn2(τ;kmn)≈1，将式(14)代入式(16)，则多普勒容限fmd可由

(17)

确定.

由于辛格函数在其自变量的负半轴为单调递增函数，在正半轴为单调递减函数，且其一阶导数为单调递减函数，不妨设|km1τ+fd|≥|km2τ+fd|，则

|Um(τ;fmd)|≤sinc[πTb(km2τ+fmd)].

(18)

当且仅当不等式(18)取等号时，|fd|取极大值，且fmd可通过

(19)

求解.

求解式(19)可得|fd|的极大值fmd为

(20)

Δkm=km1-km2.

由式(20)可知，在DFS信号时宽和带宽确定的情况下，多普勒容限fmd与调频斜率差呈反比例关系.因此，要降低DFS信号的多普勒敏感性，应使各子信号的调频斜率差尽可能小.

3 DFS信号的参数设计

根据第2节的性能分析可知，DFS信号的互相关函数和多普勒敏感性均与调频斜率差有关，其自相关函数与各子信号的调频斜率有关.随着调频斜率差的增大，DFS信号的互相关值减小，信号间的正交性增强，然而多普勒容限却在减小，且整个主瓣宽度在增大，自相关性能变差.因此，仅通过调频斜率差无法解决正交性和多普勒容忍性之间的矛盾，必须结合信号的其它参数来完成DFS波形的设计.此外，第2节的性能分析都是在不同卫星相同调频子斜率的频谱不重叠的基础上得出的理论分析结果，因此在设计波形时必须保证相同调频子斜率的频谱不相重叠.

我们将第2节分析的DFS信号的正交性、距离分辨率和多普勒容限与信号各参数之间的关系重写如下：

通过观察式(21)可知，距离分辨率只与带宽有关，因此，可通过分布式星载雷达系统对带宽的要求计算出DFS信号的带宽.由于目标场景的多普勒变化范围可以通过卫星姿态和天线指向估算出来，因此可以通过多普勒容限表达式估算出T2·Δk的取值上限.通常情况下，互相关值小于0.1(-20 dB)的多个波形之间具有准正交性，将该值代入互相关表达式，可以估算出T2·Δk的取值下限.信号的时宽可由系统的发射功率和探测距离确定，通过式(21)求出T2·Δk的上限和下限便可计算出Δk的取值范围.最后由自相关函数的表达式和第2节的分析可知，调频斜率差在它的取值范围内越小越好，这样最大调频斜率和最小调频斜率之差就能控制到最小，对自相关旁瓣的影响也就最小，具体设计方法如下：

步骤3：由|Cm1(τ)|≤0.1，根据互相关函数关系式计算出T2·Δk的取值下限：T2·Δk≥400(M-1)2；

图2 DFS波形设计流程

步骤6：由公式k=B/T计算信号的平均调频斜率，然后再由公式km1=k+m·Δk和km2=k-m·Δk确定各颗卫星的两个调频子斜率，根据式(6)，Δk应满足Δk≤k/2M；

通过上述步骤可知，要使DFS信号的各参数有解，分布式星载雷达的系统参数还需满足

(22)

通过上述设计，便实现了分布式星载雷达发射波形的全部参数设计，上述多数参数都是以不等式的形式出现，在给出的范围内都能满足系统的要求，因此在实际波形设计中，各参数可在分布式星载雷达系统允许的范围内进行取值.最后将各参数代入式(1)便能得到每颗卫星的发射波形.DFS波形设计流程如图2所示.

4 DFS信号的性能仿真

以卫星数为3的分布式星载雷达系统为例，对DFS信号进行设计与性能仿真.系统参数为：卫星的工作频率为9.6 GHz，各卫星的运行高度均为700 km，分辨率为1.5 m，某时刻卫星照射场景内目标的最大多普勒频移为10 kHz.根据第3节的设计方法对分布式星载雷达系统的波形进行设计，得到DFS信号的参数如下：信号总带宽B为100 MHz，时宽T为96 μs，各子信号的时宽Tb为48 μs，平均调频斜率k为1.04×1012Hz/s，调频斜率差Δk为1.74×1011Hz/s，则各卫星发射信号的时频关系图和频谱图分别如图3和图4所示.

图3 各卫星发射信号的时频关系图

图4 各卫星发射信号的频谱图

从图3和图4可知：通过本文方法所设计卫星的发射波形均由两个调频子斜率组成，且所有卫星的调频子斜率均不重复，各调频子斜率具有相同的时宽T/2，不同调频子斜率的带宽和占据的频率范围均不同.各卫星接收信号经匹配滤波后的输出结果以及互相关结果如图5和图6所示.

图5 各卫星接收信号的匹配滤波输出

图6 各卫星接收信号的互相关输出

从图5可以看出，由于目标的最大多普勒值10 kHz远小于多普勒容限fmd=1.772B/T2·Δk=1.1×105Hz，因此，各卫星的匹配滤波峰值基本不受多普勒的影响，得到较为理想的相关峰.从图6可知，各卫星接收信号的互相关输出均小于0.1，达到了正交性的设计要求.

通过上述仿真可知，利用本文方法设计的编队卫星雷达的发射波形可以满足系统参数的要求.

5 结 论

本文通过对LFM信号进行分段调制，提出了双调频斜率信号波形，该波形将LFM信号在时间轴上等分成两段，并对每段信号采用不同的调频斜率进行分段调制而成.本文首先建立了DFS信号模型，研究了该波形的自相关性、距离分辨率、互相关性以及多普勒敏感性，重点分析了调频斜率差对其正交性和多普勒敏感性的影响，得到了信号参数之间的关系式，并提出了基于双调频斜率的波形参数设计方法.经研究，通过设计不同的调频斜率组合，可以使多个DFS信号间具有准正交性，同时通过本文方法设计的DFS信号具有较低的多普勒敏感性，可以满足分布式星载雷达系统对波形正交性和多普勒敏感性的要求.

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