非紧空间上的局部熵的变分原理

王 威

(应天职业技术学院基础部，江苏南京210023)

在动力系统领域的研究中，熵是描述系统复杂性的一个重要概念，1958年由Kolmogolov首先引入.从此熵的研究成为遍历理论研究的热点问题.许多知名动力系统专家投入到熵的理论研究中，熵的理论工作得到快速发展.对于熵的理论而言，变分原理是一个非常重要的结论.经典的熵的变分原理为测度熵与拓扑熵相等，即hμ(T)=htop(T).

二十世纪七十年代，熵的概念拓展到非紧空间［1-2］，之后，它成为拓扑动力系统研究中的热点和难点问题.很多经典的理论在非紧空间中也得以实现.二十世纪后期，文献［3］中在研究Kolmogolov的拓扑对应时，引入一致正熵等概念，将熵的概念局部化，得到一系列重要结论，包括建立了局部熵的变分原理:hμ(T，U)=htop(T，U)［4-8］.文中主要工作是从经典的熵理论出发，利用点集拓扑学紧致化定义，通过扩充将紧致空间局部熵的理论和非紧空间中熵的理论结合起来，得到非紧空间局部熵的变分原理.

1 动力系统基础

文中定义涉及几个动力系统中常用的符号或表示方法:Μ(X)是X上所有的Borel概率测度集;Μ(X，T)⊆Μ(X)是所有T-不变的概率测度集.设Z⊂X为T-不变集，E(Z，T)⊂M(X，T)为遍历测度集，且满足 μ(Z)=1，∀μ E(Z，T).读者可以查阅文献［9］，或者查阅其他动力系统相关书籍，对基础知识进行了解.

定义1［10］令X是拓扑空间，映射T:X→X是连续映射且满足紧集的原像仍是紧集，则称T是恰当映射;U是X的有限开覆盖，且满足∀u⊂U，uc或为紧集，称U是X的容许覆盖.

用CKX表示X上全体容许覆盖，C0X表示X上全体有限开覆盖，PX表示X上全体有限可测分割.给定X的任一容许覆盖U，X上的恰当映射T，∀n∈Ν则也是容许覆盖.

定义 2［11］设 U为容许覆盖，记 N(U)=min{#β:β是U的子覆盖}，#β指子覆盖β的元素的个数，并且记H(U)=logN(U).显然是关于n∈Ν的非负次可加函数.定义称htop(T，U)为U相对于T的拓扑熵.定义htop(T)为T的拓扑熵.=

当X是紧致的Hausdorff空间时，上面的定义和AKM定义一致.定义 3［12］设，定义 H(U)=μ是关于n∈Ν的非负次可加函数.定义μ关于U的测度熵为由定义可知Hμ(U)≤H(U)，那么，∀μ∈Μ(X，T)，有hμ(T，U)≤htop(T，U).

定义4［13］设(X，τ)是一个拓扑空间，令∞ 为任何一个不属于X的元素.令

定义5［10］设T:X→X是恰当映射，为

2 主要结果

定理1:设X，Y为拓扑空间，T:X→X，S:Y→Y是两个恰当映射，，若φ:Y→X是恰当满射且 T ·φ = φ ·S，则htop(T，U)=htop(S，φ-1(U)).

证明:由φ是恰当映射，知φ-1(U)={φ(u):u∈U}是Y的容许覆盖.

事实上，v∈ V⇔v= u0∩ T-1u1∩ … ∩

式中:ui∈U，i∈{0，1，…，n -1}，故W= φ-1(V)，

对两边同时取对数除以n，令n→∞ 得

htop(T，U)=htop(S，φ-1(U))

命题得证.

下面讨论非紧的局部熵的变分原理.

定理2 设X是局部紧致的Hausdorff可分空间，T:X→X是恰当映射，，则存在μ∈Μ(X，T)使得hμ(T，U)=htop(T，U).

本定理的证明需要以下两个引理.

引理1 设X为局部紧致的Hausdorff可分空间，T为设X上的恰当映射，则存在使得

事实上，若U为X的容许覆盖，则至少存在一u0∈U ，Xu0为紧集，而u0在X中的闭包非紧.取=u0∪ {∞}，则是 的开邻域.

对两边同时取对数除以n，令n→∞ 得

引理2 设X为局部紧致的Hausdorff可分空间，T是恰当映射，，则对上述的，则存在μ∈Μ(X，T)使得

故hμ(T，U)=0

又由引理2，得存在μ∈Μ(X，T)使得hμ(T，U )=.

故存在μ∈Μ(X，T)使得hμ(T，U)=htop(T，U).

若X为紧致集合，则与局部熵的变分原理一致.

References)

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