关于比较判别法及其极限形式的一点注记

周学君

(黄冈师范学院 数学与计算机科学学院，湖北 黄州438000)

在《数学分析》这门专业基础课的讲授过程中，笔者发现在讨论无穷积分敛散性的方法时，对于比较判别法及其极限形式的谈论不多，引起了许多读者的疑问.

事实上，比较判别法是一种重要而且实用的判别敛散性的方法，而且对于后续所介绍的其他的判别法有很强的理论指导意义.在《数学分析》理论体系中，从函数的单调有界定理出发，导出关于无穷积分绝对收敛的比较判别法.通过比较两个函数在某个区域内的大小关系，利用其中一个函数的无穷积分的敛散性，去判别另外一个函数的无穷积分的敛散性.比较判别法具有一种使用更为便捷的极限形式，文献中对于极限形式的证明和二者之间的深层关系，缺乏详尽论述.本文针对比较判别法及其极限形式的关系进行深入探讨.

1 预备知识

先回忆一下无穷积分的绝对收敛比较法则及其推论.

2 主要结论

则有:

在无穷积分敛散性的诸多判别法中，比较判别法及其极限形式是第一种方法，是后续介绍的判别法的基础，地位特殊显得尤为重要.再者在实际应用中，该方法的使用频率很高，价值大.本文笔者结合实际教学经验，给出一些见解，供读者参考.

［1］ 华东师范大学数学系.数学分析(上册)(第三版)［M］.北京:高等教育出版社，2001:270 －275.

［2］ 刘玉琏，傅沛仁.数学分析讲义(下册)(第五版)［M］.北京:高等教育出版社，2008:161 －165.

［3］ 陈纪修，於崇华，金路.数学分析(上册)(第二版)［M］.北京:复旦大学出版社，2004:269 －273.

［4］ 欧阳光中，朱学炎，金福临.数学分析(上册)(第三版)［M］.北京:高等教育出版社，2007:71 －75.