动手操作数学学具 建构有效学习方式——“三角形面积的计算”教学片断与反思

王忠强

青县盘古镇塔寺庄小学 河北青县 062650

1 引言

三角形的面积计算是人教版小学数学第九册的教学内容。这个内容是在学生初步认识了长方形、正方形及平行四边形的面积的基础上，尤其是平行四边形面积公式的推导基础上进行教学的，同时，与平行四边形、梯形的面积联系在一起，为以后学习圆面积和复合图形的面积计算起到铺垫作用。本节课主要是引导学生通过三角形面积公式的推导去理解和掌握三角形面积计算公式，并能运用三角形的面积公式，计算相关图形的面积，解决实际问题。笔者根据教材的编排特点及五年级学生的年龄心理特征，利用数学学具，引导学生自己动手操作，通过图形的割补、剪拼、渗透变换等教学手段，从操作中掌握方法，顺利完成教学内容。

2 教学片断

师：上节课我们通过图形的割补、剪拼、渗透变换等办法，把平行四边形转化成已经学过的正方形或长方形后，来推导平行四边形的面积计算方法。今天我们一起来研究一下三角形的面积是如何计算的。（板书：三角形面积的计算）下面请同学们开动脑筋，认真思考，利用手中的纸卡片和剪刀，剪一剪，拼一拼，来探究三角形的面积计算方法，可以独立思考完成，也可以小组合作讨论。

（学生开始动手操作，思考、剪拼、讨论、交流……，10分钟左右，教师组织学生研讨。）

师：下面请同学们把你或你们小组探究三角形面积计算方法的过程和研讨的结果向同学们展示一下。请同学们细心听听他的操作过程，并比较一下与你的方法有什么不同？也让我们比较一下哪种方法更好更妙，希望同学们认真听并提出不同的见解或改进的建议。

生1：（边说边演示）我是先把纸片剪成一个直角三角形后，在一条直角边的中点做另一条直角边的一条平行线，沿着这条平行线把三角形剪成一个直角梯形和一个小三角形，然后把小三角形和这个直角梯形拼成一个长方形，拼成的长方形的面积就是原三角形的面积，由此推导出三角形的面积计算方法：底×高÷2。

（教师利用多媒体演示“生1”的探究过程，并板书：三角形的面积=底×高÷2）

生2：（边说边演示）我是把纸片剪成一个等腰三角形，然后沿着这个等腰三角形的中位线（底边上的高）剪开成两个完全一样的直角三角形，然后把这两个完全一样的直角三角形拼成一个长方形（三角形底边长是高的2倍的时候，拼成的是正方形）。拼成的长方形的面积就是原三角形的面积，其中拼成的长方形的长（或宽）就是三角形底边的一半，由此推导出三角形的面积计算方法就是：底×高÷2。

（教师利用多媒体演示“生2”的探究过程，并板书：三角形的面积=底÷2×高=底×高÷2）

生3：我们开始的时候也和刚才这两位同学的研究办法一样。后来我们想，如果不是特殊的三角形，平常的任意一个三角形，如锐角三角形和钝角三角形又会怎样呢？我们小组又做了进一步的研究。

师：你们爱动脑筋，善于探究，值得全班同学学习，快说说你们是怎么进一步研究的？

生3：（边说边演示）沿着三角形的中位线把三角形剪成一个梯形和一个小三角形，然后沿着小三角形的底边（一定是原三角形的中位线）上的高把这个小三角形剪成两个新的小三角形，再把后来剪成的两个新的小三角形分别与第一次剪出的梯形一起拼成一个长方形，拼成的长方形的面积就是原三角形的面积，其中拼成的长方形的宽就是原三角形高的一半，长方形的面积等于高÷2×底，由此推导出三角形的面积计算方法就是：底×高÷2。

（教师利用多媒体演示“生3”的探究过程，并板书：三角形的面积=高÷2×底=底×高÷2）

生4：老师，刚才那几个同学在拼图的时候，也有可能拼成平行四边形，但也可以推导出三角形的面积计算办法。（边说边演示，略）

生5：老师，我有一个更简单的办法，不用剪，也不用拼。将三角形的顶角向底边平行对折，把三角形纸片的另外两个角向内对折，变成一个小长方形，小长方形面积的2倍就等于是三角形的面积，对折后的长方形的长是原来三角形底的一半，宽就是三角形的高的一半，其中的2倍与其中的一个“一半”抵消，还剩一个“一半”，长方形的面积乘以2就是三角形的面积：底÷2×（高÷2）×2=底×高÷2。为此，三角形的面积等于底乘以高除以2。

师：你真聪明！你的做法与众不同，很有独创性，老师备课都没有想到这个办法。[边说边板书：三角形的面积=底÷2×（高÷2）×2=底×高÷2]说说你是怎么想到这个妙招的？

生5：当初我们在验证三角形的内角和是180o的时候，曾经就是这么做的，记得当时是折叠成了一个长方形，当看到剪成的三角形时，一下子就想到了这个办法。

（一时间，教室里响起了热烈的掌声。）

师：无论是哪种办法，都可以推导出三角形面积的计算办法，说明你们都善于思考，勤于动脑，都是聪明的好孩子！有的同学的想法还很独特。下面我们再想一想还有其他办法推导三角形的面积计算方法吗？老师提醒你们，不要局限于用一个三角形的学具来研究三角形面积的计算方法，你们用两个完全一样的三角形学具试试看。

（几分钟后……）

生6：（边说边演示）我用两个完全一样的三角形拼成了一个平行四边形，拼成的平行四边形和三角形等底等高，所以，三角形的面积=底×高÷2。

生7：（边说边演示）我发现用两个完全一样的三角形拼成的是一个平行四边形；用两个完全一样的直角三角形拼成的是一个长方形，无论是拼成长方形，还是拼成平行四边形，拼成的图形的面积都是两个三角形的面积之和，所以，三角形的面积=底×高÷2。

生8：老师，我刚才把长方形或平行四边形剪成两个完全一样的三角形时发现了另一种办法可以推导出计算三角形的面积方法：把长方形或平行四边形剪成两个完全一样的三角形，这新剪成的三角形就是长方形或平行四边形面积的一半。也就是说三角形的面积=底×高÷2。

……

3 教学反思

根据新课程新理念的要求，在教学中注重引导学生动手操作，小组合作，讨论交流，并从动手操作中探究奇思妙想，发现问题，解决问题，掌握方法，感触很深。

3.1 创造性地处理教材

现行教材首先是让学生通过数方格的方法导入，再说明数方格方法不方便，接着让学生用两个完全一样的直角三角形、锐角三角形、钝角三角形拼出平行四边形（或长方形），比较拼成的图形与原三角形有什么关系，然后推导出三角形的面积计算公式。这样，创造性地处理本节课教材，遵循学生的认知规律，分层组织实践探究活动，激发了学生的探究欲望。

3.2 落实“做数学”的思想

“做数学”的思想就是学生在学习数学的过程中体验、理解和反思的过程，而实践探究活动就是做数学的具体体现。本节课实施的实践探究过程以学生为主体，让学生眼、手、脑各种感官真正动起来，让学生在亲身体验中有所发现，有所顿悟。本节课的实践探究活动，由浅入深，循序渐进，不单单是为了完成面积公式的推导而推导，而是在经历数学实践探究活动过程中发展思维，学会探索知识的方法。

3.3 努力建构有效的学习方式

素质教育很重要的一点就是要让学生生动、活泼、主动地学习与发展。在获取知识的同时，更重要的是让学生掌握数学思维方法，发挥学生学习的自主性、创造性，进而发展学生的综合素质。本节课在有趣的探究活动中，通过动手操作、小组合作与交流，有效地改变了学生的学习方式。