导数IM分担一个值的整函数

徐 琳，任建娅，牛红玲，岳英强

（河北民族师范学院数学与计算机系，河北承德 067000）

导数IM分担一个值的整函数

徐 琳，任建娅，牛红玲，岳英强

（河北民族师范学院数学与计算机系，河北承德 067000）

笔者研究整函数及其n阶导数的分担值问题，改进了仪洪勋，杨重骏等人的定理，得到了以下结论：设f、g是复平面上非常数整函数，f′与g′分担1IM，0为f、g的公共Borel例外值，则f≡g或f′·g′≡1。并将结论推广到f（n）与g（n）分担1IM（n为正整数）的情况：设f、g是复平面上非常数整函数，f（n）与g（n）分担1IM，0为f、g的公共Borel例外值，则f≡g或f（n）·g（n）≡1。

整函数；Borel例外值；IM分担值

0 引 言

1976年，杨重骏［4］提出如下问题：设f与g为开平面上2个非常数整函数，以0为CM公共值（分担值），f′与g′以1为CM公共值。问f与g之间有何种关系。

1989年，仪洪勋［5］回答了杨重骏提出的上述问题，证明了下面定理。

更一般的，仪洪勋证明了下面定理。

一直以来，许多唯一性的研究者对这一问题做了进一步的探讨［8－10］，研究了条件减弱的情况下，对于整函数以及亚纯函数［12－15］，是否保持结论成立。其中以仪洪勋和杨重骏所得定理较为简洁。

定理3［6］设f与g为2个非常数整函数，满足f′与g′以1为CM公共值，如果δ（0，f）＋δ（0，g）＞1，则f≡g或者f′·g′≡1。

接着自然想到：保持定理3的结论，分担1CM的条件是否可以减弱。于是得到下面定理。

定理4设f、g是复平面上非常数整函数，f′与g′分担1IM，0为f、g的公共Borel例外值，则f≡g或f′·g′≡1。

类似的，可以证明定理5。

定理5设f、g是复平面上非常数整函数，f（n）与g（n）分担1IM，0为f、g的公共Borel例外值，则f≡g或f（n）·g（n）≡1。

1 引 理

2 定理4的证明

类似的，可以证明定理5。

定理5设f、g是复平面上非常数整函数，f（n）与g（n）分担1IM，0为f、g的公共Borel例外值，则f≡g或f（n）·g（n）≡1。

3 结 语

本文所得出的关于导数IM分担一个值的整函数的两个定理改进了仪洪勋、杨重骏两位教授的定理，部分的解决了杨重骏先生提出的“设f与g为开平面上2个非常数整函数，以0为CM公共值（分担值），f′与g′以1为CM公共值，问f与g之间有何种关系？”问题，使得该问题的研究有所进展。

［1］YI Hongxun，YANG Chungchun.Uniqueness Theory of Meromorphic Functions［M］.Beijing：Science Press，1995.

［2］杨乐.值分布论及其新研究［M］.北京：科学出版社，1982.

［3］HAYMAN W K.Meromorphic Functions［M］.Oxford：Clarendon Press，1964.

［4］YANG Chungchun.On two entire functions which together with their first derivatives have the same zeros［J］.J Math Anal Appl，1976，56（2）：1-6.

［5］YI Hongxun.A question of C.C.Yang on the uniqueness of entire functions［J］.Kodai Math J，1990，13（1）：39-46.

［6］仪洪勋，杨重骏.导数具有相同1－值点的亚纯函数的唯一性定理［J］.数学学报，1991，34（5）：675-680.

［7］杨重骏，仪洪勋.具有亏值的亚纯函数的唯一性定理［J］.数学学报，1994，37（1）：62-72.

［8］CHEN Junfan，ZHANG Xiaoyu，LIN Weichuan.Uniqueness of entire functions that share one value［J］.Comput Math Appl，2008，56（10）：3000-3014.

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［10］LIN Xiuqing，LIN Weichuan.Uniqueness of entire functions sharing one value［J］.Acta Math Sci，2011，31B（3）：1062-1076.

［11］LIN Xiuqing，YI Hongxun.Uniqueness theorems of entire functions sharing one value IM［J］.数学进展，2011，40（1）：79-86.

［12］YANG Chungchun.Uniqueness and value-sharing of meromorphic functions［J］.Ann Acad Sci Fenn Math，1997，22（2）：395-406.

［13］YI Hongxun.Meromorphic functions sharing one or two values［J］.Complex Var Theory Appl，1995，28（1）：1-11.

［14］LAHIRI I，SARKAR A.Uniqueness a meromorphic functions and its derivative［J］.J Inequal Pure Appl Math，2004，5（1）：20-34.

［15］ZHANG Qingcai.Meromorphic functions that shares one small function with its derivative［J］.J Inequal Pure Appl Math，2005，6（4）：116-127.

Entirefunctions which derivative sharing one value

XU Lin，REN Jianya，NIU Hongling，YUE Yingqiang

（Department of Mathematics and Computer Science，Hebei Teachers College for Nationalities，Chengde 067000，China）

In this paper，we study the sharing value problems for entire functions and theirn-th derivatives.We improved some theorems of YI Hongxun and YANG Chengjun and obtain the following result：Letfandgbe two nonconstant entire functions in the complex plane.Iff′andg′share 1IM，and 0be Borel exceptional value offandg，then eitherf′·g′≡1orf≡g.This paper generalizes the conclusion tof（n）andg（n）share 1IM，wheren（＞0）is an integer：Letfandgbe two non-constant entire functions in the complex plane.Iff（n）andg（n）share 1IM，0be Borel exceptional value offandg，then eitherf≡gorf（n）·g（n）≡1.

entire functions；Borel exceptional value；sharing valueIM

O174.5

A

10.3969／j.issn.1673-5862.2013.02.027

1673-5862（2013）02-0252-05

2012-02-06。

河北省自然科学基金资助项目（A2011205012）。

徐 琳（1966-），女，江苏徐州人，河北民族师范学院副教授。