基于中心线一侧打点数量异常判断选取准则

闻学颖，孙 维，孟宪涛，刘 畅

（1.大连海洋大学职业技术学院，辽宁大连 116300；2.沈阳师范大学数学与系统科学学院，沈阳 110034；

3.沈阳市广全中学数学教研组，沈阳 110141）

基于中心线一侧打点数量异常判断选取准则

闻学颖1，孙 维1，孟宪涛2，刘 畅3

（1.大连海洋大学职业技术学院，辽宁大连 116300；2.沈阳师范大学数学与系统科学学院，沈阳 110034；

3.沈阳市广全中学数学教研组，沈阳 110141）

介绍了控制图的概念和3σ原理以及与控制图共生的2类错误，一是以真为假的第一类错误，一是以假为真的第二类错误。指出了控制图与假设检验一样，遵循“小概率事件不容易发生”这一统计基本原理。论述了控制图选用的显著性水平一般要比假设检验所选取的显著性水平小很多的原因。利用控制图中的落在控制限内中心线一侧打点数量这一视角，研究了位于控制限内n个样本打点中有k个落在中心线一侧相应质量系统异常判断准则的构建问题。分析出这k个点符合二项分布，给出了位于控制限内n个打点中至少有k个打点落在中心线一侧的概率计算公式。最后得到当n≤19各种样本情况的质量系统异常判断准则。

质量管理；控制图；异常判断

0 引 言

质量的时代需要科学的质量学说，20世纪20年代美国工程师休哈特应用统计科学方法创立了控制图，此举具有划时代意义，它标志着质量管理已在质量检验阶段的基础上进入到统计质量控制阶段，从此质量管理学作为一门科学在企业生产经营的质量控制过程中发挥着越来越大的作用［1］。质量控制阶段以后，质量管理又先后经历了全面质量管理阶段和6σ管理阶段。值得一提的是，虽然目前质量管理已经出现了6σ管理方法，但以控制图为代表的质量控制阶段的许多管理方法目前仍具有很强的生命力。

1 控制图简介

所谓控制图，实际上就是图上作业的假设检验，它对于质量过程的控制管理是十分有效的。

1.1 控制图的3σ原理

若以X表示生产过程中的质量特性，并设X～N（μ，σ2），于是就有

这里α0＝0.0027，称为显著性水平。现在以坐标系中的横轴表示样本序号，纵轴表示样本值，分别以X＝μ±3σ表示上下控制限，以X＝μ为中心线。将样本以打点形式依次描在坐标系中，便得到相应的控制图如图1所示。

生产过程存在的价值在于它的质量始终处在可控的稳定状态，即X～N（μ，σ2）在过程中始终成立。此时Χ只受到随机因素的作用，而没有系统因素的影响。即对于一个样本打点，其落在控制限以内的概率为0.9973，据此休哈特在创立控制图初期就把“一个样本打点出界即判异常”确定为系统的判异准则。

1.2 控制图的两类错误

依据该判异准则，对一个打点出界即判为异常，则在逻辑上存在着误判的风险。即当X～N（μ，σ2）没有变化时，由于随机因素的影响，使得打点也可能出界。此时若按该准则判为异常，就是一种误判，其概率为0.0027。这种误判是以真为假的误判，在数理统计上称为第一类错误。我们当然可以减小显著性水平使出现以真为假的误判概率降低。但这却增大了所谓以假为真误判的发生概率。对于后一种误判称为第二类错误。椐经验，按3σ原理构造的控制图，相应的两类错误造成的总损失最小，即α0＝0.0027是适宜的。

1.3 控制图的显著性水平

虽然控制图与假设检验的原理相同，但它们二者所选用的显著性水平的差异却是很大。假设检验选用的显著水平通常是控制图的几倍甚至几十倍。依据休哈特的“一点出界即判为异常”的判异准则，则发生误判的机会增加了。为此，通常把显著性水平取的相对小一些，尽管使犯第一类错误的概率大为降低，却导致犯第二类错误的机会增加，常常会出现鱼目混珠、漏发警报的现象。为此需要利用已建立的质量系统稳定或异常判断准则对控制图中打点的分布状况进行甄别［2］，以便对质量过程的稳定与异常做出正确的判断。理论上说，样本的打点在控制图中的分布形式是多样的，判断系统异常的准则必定也是各异的。现在从落在控制限内中心线一侧打点数量这一视角去探求质量过程异常的判断准则。

2 过程异常判断准则的确立

图1 控制图示例

设X～N（μ，σ2），则一个样本打点落在控制限内中心线一侧的概率为0.9973／2。现有n个样本点，其中有k个落在控制限内中心线一侧，易知k服从二项分布K～B（n，0.9973／2）。若记P（n，k）＝P（n个打点中有k个落在中心线一侧），则有

如果限定n个样本点是落在控制限内，那么严格地说其中落在中心线一侧的样本点个数k就不再服从以n，0.9973／2为参数的二项分布。但在质量特性X的分布无异常的情况下，一点落在控制限以外只是个小概率事件，故此可认为k近似地服从以n，0.9973／2为参数的二项分布。于是有P（控制限内n个打点中有k个落在中心线一侧）＝P（n，k）＝2（0.9973／2）n。

下面以Pn（k）表示事件“位于控制限内n个打点中至少有k个落在中心线一侧”的概率，即

对一固定的n，当时适宜用式（2）计算Pn（k）；而当时，则适宜于利用式（3）求Pn（k）.此外易知Pn（k）为k的减函数，且其最小值为

由于控制图的显著性水平为α0＝0.0027，为此有方程0.49865n＝0.00135，解之，得n＝9.4958.取整为n＝9.

有一点须特别注意，在以下确定判异准则时，要充分考虑到相应的显著性水平必须与α0协调一致，既不能太大，也不能太小，一般应与α0处在同一数量级。若对某事件求得其概率为与α0属于同一数量级的数值，则该事件为一个小概率事件，依据统计原理，小概率事件是不容易发生的。而今样本打点结果表明该小概率事件发生了，说明质量特性已经出现了异常。此即为选择判异准则的思想方法。现在考虑从n＝9开始取值，探讨确立判异准则。

2.1 取n＝9时，有9个样本打点落在控制限内

由式（1）可得

由于0.0343与α0比较显得过大，0.0038与0.0027为同一数量级的数值，故可得判异准则1。

准则1若连续9个样本打点全都落在控制限内中心线一侧，则质量过程为异常。

当n＝10时，有10个样本打点落在控制限内，由式（1）计算可得

显然P（10，9）与α0＝0.0027比较显得过大，P（10，10）与α0属同一数量级，为此可把10点均落在中心线一侧选为判异准则。但10点落在中心线一侧必满足9点落在中心线一侧，故此可由准则1加以判断。

当n＝11，n＝12时，与n＝10时的情形相同，不能确立相应的判异准则。

2.2 当n＝13时，有13个样本打点落在控制限内

据式（1）得

由于P（13，13）偏小，而0.0031与α0＝0.0027属同一数量级，故可取为显著性水平。于是可确定判异准则2。

准则2位于控制限内的13个样本打点中12个落在控制限内中心线一侧，则质量过程为异常。

2.3 当n＝14时，有14个样本打点落在控制限内

利用式（2）计算可得

0.0018与0.0027比较接近，因此可取为显著性水平。于是得到过程异常判断准则3。

准则3位于控制限内的14个样本打点中至少有13个落在中心线一侧，则过程判为异常。

当n＝15时，有15个样本打点落在控制限内，利用式（2）可得

由于0.0071为α0＝0.0027的2.6倍，偏大一些，不适宜作为显著性水平。因此，对15个样本打点落在控制限内的情况，不能够确立相应的判异准则。

以此类推，可得到n＝16时的准则4、n＝17时的准则5和n＝19时的准则6。

准则4位于控制限内的16个样本打点中至少有14个落在中心线一侧，则过程判为异常。

准则5位于控制限内的17个样本打点中至少有15个落在中心线一侧，则过程判为异常。

准则6位于控制限内的19个样本打点中至少有16个落在中心线一侧，则过程判为异常。

当n＝18时，有P18（16）＝0.0012，P18（15）＝0.0072，这两概率与α0＝0.0027比较，0.0012偏小，0.0072又偏大，都不适合作为显著性水平。由此可知，对于18个落在控制限内的样本打点情况，不可能确立相应的判异准则。

3 结 语

1）若令n分别取20，21，22，…，加大样本的容量，一般情况下还可以得到新的判异准则；

2）笔者是基于落在控制限内中心线一侧样本打点个数去选择质量过程判异准则的，由于样本点分布的多样性，对于其他形式的打点分布情况（如单调、链以及靠近控制限分布等），同样可确立相应的判异准则；

3）所谓质量过程异常，是指样本打点分布不是完全随机的。因此不应该只理解为异常不好，事实上还应该包括异常好的情况。异常好的情况有悖于样本打点随机分布的常理，故也是不正常的。

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Selection of abnormal judgment rules based on plotting numbers from central line side

WEN Xueying1，SUN Wei1，MENG Xiantao2，LIU Chang3

（1.Vocational and Technical College，Dalian Ocean University，Dalian 116300，China；
2.School of Mathmatics and System Science，Shenyang Normal University，Shenyang 110034，China；3.Math Department，Shenyang Guangquan Middle School，Shenyang 110141，China）

This paper introduces the concept of control chart，three principle and two types of errors from the symbiosis with control charts.The one is really false error of the first kind，the other is false is true of the second types of errors.This paper points out that control charts are the same as the hypothesis testing by following the basic statistics principle that the little probability is not prone to happen.Meanwhile，the reason why the significance level by control charts is much smaller compared to the hypothesis testing has been explained.The research has been done aiming at constructing abnormal judgment criteria of the corresponding quality system whenknumbers ofnsample plotting numbers from the control limit are in the central line along with the probability formula in this situation.This paper analysis that the K points accord with the two distribution and gives the probability calculation formula whenknumbers ofnsample plotting numbers from the control limit are in the central line.Eventually，the alarm rules of the quality system have been concluded in the case ofn19.

quality management；control charts；abnormal judgment

O212

A

10.3969／j.issn.1673-5862.2013.02.024

1673-5862（2013）02-0242-04

2012-09-19。

国家自然科学基金资助项目（10471096）。

闻学颖（1974-），女，辽宁大连人，大连海洋大学助理研究员。