对力学中一表达式的审视和再修正

王光宇

(松江区教师进修学院附属立达中学 上海 201600)

图1

原文:设物体m从h1高度下落到h2高度时物体的速度为v，物体和地球相对于质心参考系的速度分别从零变为v和V,此过程机械能守恒，系统重力势能的减小量与参考系的选取无关，还是(mgh1-mgh2)，则有

(1)

又地球和物体组成的系统无外力作用，动量守恒，则有

mv-MV=0

(2)

因为M≫m，所以

此时可做近似

1 问题提出

笔者研读此文后颇受启发，但笔者认为原文中作者对该表达式的修正结论尚不够完整，其过程和条件有待商榷.

2 问题讨论

讨论1：

原文由动量守恒并结合M≫m得出V≪v是合理的，但由此得出

由式(1)、(2)可得

因为m≪M所以

即

讨论2：

原文选取地球和物体的质心作为参考系，由系统重力势能转化为地球和物体的动能，结合动量定理给出了表达式的修正式.笔者认为，从更加严密地角度对表达式进行修正，选取系统的引力势能较为合理，因为重力势能Ep=mgh只是系统引力势能的一级近似.

证明：选取无穷远处为势能零点，设R为地球半径，h为物体距离地面的高度.

(3)

由万有引力定律可得

即GM=gR2

(4)

由式(3)、(4)得

Ep=-mgR+mgh

则Ep1-Ep2=mg(h1-h2)与原文重力势能的减小量一致.

综上分析，对表达式修正，应选取系统的势引力势能

则式(1)修正为

(5)

由式(2)、(4)、(5)可得

(6)

由式(6)得

(7)

h1≪Rh2≪R

当满足条件m≪M，h1≪R，h2≪R，由式(7)得

结论：当m≪M，物体处于地球表面附近

讨论3：

当m≪M，物体位于距地球表面高度H处附近，表达式的形态和修正式.

如图(2)所示，物体m从距参考面h1处下落至h2处，此时,物体和地球相对于质心参考系的速度为v和V,由机械能守恒定律得

(8)

图2

由式(2)、(8)可得

(9)

由式(4)、(9)可得

mgh1-mgh2=

(10)

当H与地球半径R相比不能忽略时

特例：当R=H时

由式(10)可得

为此,对式(10)进行修正

(11)

则式(11)变为

(12)

为使

必须同时满足

h1≪R+Hh2≪R+H

当满足条件m≪M，h1≪R+H，h2≪R+H时，由式(12)得

结论：当m≪M，物体处于距离地球表面高度为H处附近

参考文献

1 漆安慎.杜婵英．普通物理学教程 ·力学(第二版)．北京：高等教育出版社

2 四川大学数学系高等数学教研室．高等数学(第二册) ．北京：高等教育出版社