2011年高考山东理综卷第22题的定量求解

孔庆国

(大庆实验中学 黑龙江 大庆 163316)

偶又看到2011年山东理综试题选择第22题，查了多种资料，关于该题的D选项正确的理由都是定性说明：棒c出磁场后，只有导体棒d切割磁感线，此时,d的速度大于进磁场时的速度，d受到安培力作用做减速运动，动能减小，d出磁场后,动能随下落高度的增加而均匀增大，故选项C错误，D正确．这实在不能令人信服，为什么棒d出磁场前一直减速没有说清楚,实际上,有可能棒d在出磁场前已经减速到匀速了.现用微元法加以定量论证D选项的正确性.

【原题】如图1所示，两固定的竖直光滑金属导轨足够长且电阻不计．两质量、长度均相同的导体棒c和d，置于边界水平的匀强磁场上方同一高度h处．磁场宽为3h，方向与导轨平面垂直．先由静止释放c，c刚进入磁场即匀速运动，此时再由静止释放d，两导体棒与导轨始终保持良好接触．用ac表示c的加速度，Ekd表示d的动能，xc,xd分别表示c,d相对释放点的位移．选项中正确的是

图1

解析：设棒c刚进入磁场速度为v1，棒c从开始到进入磁场过程中机械能守恒，所以有

(1)

棒c刚进入磁场匀速，合力为零，由平衡条件可知

可得

(2)

由于棒d下落时离磁场上边界也为h,在磁场外只受重力，所以，棒d到磁场上边界的速度也是v1.此过程棒c以v1匀速，所以,当棒d刚进入磁场时，棒c向下运动的总距离为3h.两棒都进入磁场后，因速度相同，回路没有感应电流,棒c,d都只受重力，两棒再向下运动距离h后，棒c出磁场.从棒d下落到棒c出磁场，棒d只受重力，下落总距离为2h，因此,棒c刚出磁场时棒d的速度v2为

(3)

棒c刚出磁场以后，由于v2>v1,棒d所受安培力大于重力，棒d减速；棒d出磁场前某时刻的速度减为v,此时，棒d的加速度为

方向向上.

棒d减速阶段，任意Δt时间内的速度变化为

Δv=aΔt

所以,棒d减速阶段速度变化

(4)

式中vt为棒d出磁场时的速度.

设棒c刚出磁场到棒d刚出磁场的时间为t, 由式(2)、(4)可知

(5)

图2

由于棒d进入磁场后，做加速度逐渐减小的减速运动，速度-时间图像如图2，根据平均速度公式和速度-时间图像可知

(6)

由式(5)、(6)可知

(7)

由式(1)、(7)可知

解不等式得

即

所以,棒d在由2h向下运动4h的过程中，安培力始终大于重力，棒d一直减速，动能减小，棒d出磁场后动能随下落高度的增加而均匀增大，故选项C错误，选项D正确．