旋转矢量法描述简谐波

麻志洪 陈亚琳 贾帆豪

(浙江师范大学数理与信息工程学院 浙江 金华 321004)

1 引言

旋转矢量法[1]是学习简谐振动过程中较为重要的解题方法，它将简谐振动的位移、相位、速度、加速度等变量在矢量图中表示出来.但笔者发现，利用旋转矢量法处理简谐波的文章并不多见，而学生在学习简谐波的过程中，对波的相位、时间性与空间性常感到困惑，故笔者将用旋转矢量法直观地描述简谐波.

2 方法分析

2.1 机械波旋转矢量法的引出(下文中均以波已传至所讨论的质点为例)

图1

如图1为旋转矢量图，矢端沿圆周运动的角速度为ω，设矢量与y轴的夹角为

α=ωt-kx+φ

(1)

y=Acos(ωt-kx+φ)

(2)

速度投影为

v=-Aωsin(ωt-kx+φ)

(3)

加速度投影为

a=-Aω2cos(ωt-kx+φ)

(4)

对于简谐波，设波动方程为

y=Acos(ωt-kx+φ)

(5)

任意选定距波源右方x处的质点，则：

(1)旋转矢量以逆时针旋转为正，与y轴正向的夹角等于简谐波上位于距波源x处的质点在t时刻的相位，随着时间增长，相位增大，矢端逆时针转动；随着x增大，相位减小，矢端顺时针转动.

(2)旋转矢量的长度等于波的振幅，在y轴上的投影等于波上该质点的位移.

(3)矢端速度沿y轴方向的投影即是该质点的速度.

(4)矢端加速度在y轴上投影的负值即是该质点的加速度.

(5)该质点动能与势能的比值

对于第5点，由于位于x处的质点做类简谐振动，以弹簧振子为例做如下推导.

由动能公式知

(6)

因为

(7)

所以有

(8)

所以

(9)

势能

(10)

所以

(11)

(1)距离波源右方12 m处的质点N在t=3 s时的相位；

(2)质点N在t=3 s时的振动方向以及动能与势能的比值.

图2

由此可见，利用旋转矢量法大大简化了问题.

2.2 同方向同频率简谐波的合成

同一介质中，两列同方向、同频率的简谐波可写成如下形式

y1=A1cos(ω0t-kx+φ1)

(12)

y2=A2cos(ω0t-kx+φ2)

(13)

则波的合成

y=y1+y2

(14)

式(12)、(13)代入式(14)整理，得

y= [A1cos(-kx+φ1)+

A2cos(-kx+φ2)]cosω0t-

[A1sin(-kx+φ1)+

A2sin(-kx+φ2)]sinω0t

(15)

令

Acos(-kx+φ)=

A1cos(-kx+φ1)+A2cos(-kx+φ2)

Asin(-kx+φ)=

A1sin(-kx+φ1)+A2sin(-kx+φ2)

则

y=Acos(ω0t-kx+φ)

(16)

可见，同方向、同频率的两列简谐波合成后仍为简谐波，其中

cos(-kx+φ)=

sin(-kx+φ)=

图3

下振动，此时动能最大，势能为零.

图4

该题若用代数法，因相位不同，非常繁琐，旋转矢量法则简单易行，该方法还可以解决波动方程的求解等问题，这里不再继续讨论.

3 结论

利用旋转矢量法描述简谐波，充分体现其时间和空间周期性，并通过矢量图将波上各质点的动能与势能比直观地反映出来，大大简化了有关波动问题的解决.

参考文献

1 赵凯华,罗蔚茵.力学.北京：高等教育出版社，2005

2 杨庆怡.用旋转矢量描述简谐振动.广西大学学报(自然科学版)，2002(27)(Sup.):145～147

3 倪辛. 旋转矢量图与简谐振动的关系.南京广播电视大学学报,1999(4)

4 杨庆怡.用旋转矢量描述波形及振动曲线与波形的转换.见：第四届西部二十省(区)市物理学会联合学术交流会论文集.2008