微分方程应用举例

摘 要：通过举例给出了微分方程在实际中的应用，从而使学生易于理解和掌握微分方程概念及理论。

关键词：微分方程 应用

中图分类号：O175 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2012）12（a）-0215-01

微分方程指的是，联系着自变量，未知函数及它的导数的关系式子。微分方程是高等数学的重要内容之一，是一门与实际联系较密切的一个内容。在自然科学和技术科学领域中，例如化学，生物学，自动控制，电子技术等等，都提出了大量的微分方程问题。在实际教学过程中应注重实际应用例子或应用背景，使学生对所学微分方程内容有具体地，形象地认识，从而激发他们强大的学习兴趣。

1 应用问题举例

1.1 生态系统中的弱肉强食问题

在这里考虑两个种群的系统，一种以另一种为食，比如鲨鱼（捕食者）与食用鱼（被捕食者），这种系统称为“被食者—捕食者”系统。

Volterra提出：记食用鱼数量为，鲨鱼数量为，因为大海的资源很丰富，可以认为如果，则将以自然生长率增长，即。但是鲨鱼以食用鱼为食，致使食用鱼的增长率降低，设降低程度与鲨鱼数量成正比，于是相对增长率为。常数，反映了鲨鱼掠取食用鱼的能力。如果没有食用鱼，鲨鱼无法生存，设鲨鱼的自然死亡率为，则。食用鱼为鲨鱼提供了食物，致使鲨鱼死亡率降低，即食用鱼为鲨鱼提供了增长的条件。设增长率与食用鱼的数量成正比，于是鲨鱼的相对增长率为。常数>0，反映了食用鱼对鲨鱼的供养能力。所以最终建立的模型为：

这就是一个非线性的微分方程。

1.2 雪球融化问题

有一个雪球，假设它是一个半径为r的球体，融化时体积V的变化率与雪球的表面积成正比，比例常数为>0，则可建立如下模型：

1.3 冷却（加热）问题

牛顿冷却定律具体表述是，物体的温度随时间的变化率跟环境的的温差成正比。记T 为物体的温度，为周围环境的温度，则物体温度随时

2 结语

文中通过举生态系统中弱肉强食问题，雪球融化及物理学中冷却定律问题为例给出了微分方程在实际中的应用。在讲解高等数学微分方程这一章内容时经常举些应用例子，能引起学生对微分方程的学习兴趣，能使学生易于理解和掌握其基本概念及理论，达到事半功倍之效。

参考文献

[1]王嘉谋，石林.高等数学[M].北京：高等教育出版社，2012.

[2]王高雄，周之铭，朱思铭，等.常微分方程[M].2版.北京：科学出版社，2000.

[3]齐欢.数学建模方法[M].武汉：华中理工大学出版社，1996.