基于随机理论的武器系统数量需求及边际效用分析

张庆捷， 赵 瑾， 张 杰， 郑 斌

（陆军军官学院 炮兵系，安徽 合肥230031）

武器装备作战需求是指在未来一定时期内，为完成所担负的作战任务而对武器装备建设的基本要求。它包括了对武器装备质量需求、数量需求、体系需求，以及对装备的保障需求。具体到一个完整的作战过程，其底层是对武器装备的数量和主要战技性能指标的需求［1－4］。

本文以火力打击武器系统为研究对象，利用随机理论方法，从作战过程中状态转移出发，研究了该武器系统的数量需求及边际效用的变化趋向。

1 作战过程描述

现代作战中，火力打击的一般过程为“侦察—信息处理与决策—火力打击”的循环过程，循环中止条件是打击任务变更或超时。考虑到作战过程中的随机性，该过程可用如图1所示的事件描述。

图1 火力打击一般过程的事件简化图

图1中，对于事件1，用Ai表示第i个目标区域，且i＝1，2，…，m；设PAi（t）为t时刻目标出现在第i个目标区域的概率。对于事件2，用Bj表示第j种侦察手段，且j＝1，2，…，n；设PBj（t）为t时刻第j种侦察手段发现目标的概率。对于事件3，用C表示指挥控制中心，设PC（t）为t时刻指挥控制中心正常工作的概率。对于事件4，用Dk表示武器系统的第k个战技性能指标，且k＝1，2，…，l；设PDk（t）为t时刻第k个战技性能指标符合作战要求的概率。对于事件5，用Uo表示武器系统的第o个作战单元，且o＝1，2，…，s；设PUo（t）为t时刻武器系统第o个作战单元进行火力打击的概率。

此外，设各事件进行状态转移的跳跃强度如下：wij为第j种侦察手段发现目标位于第i个目标区域时的可靠性；aij为第j种侦察手段发现目标位于第i个目标区域时的概率；wj为第j种侦察手段将信息传输至指挥控制中心时的可靠性；bj为第j种侦察手段将信息传输至指挥控制中心时的概率；wk为指挥控制中心判断、决策第k个战技性能指标符合作战要求时的可靠性；ck为指挥控制中心判断、决策第k个战技性能指标符合作战要求时的概率；wko为武器系统第o个作战单元的第k个战技性能指标符合作战要求时的可靠性；dko为武器系统第o个作战单元的第k个战技性能指标符合作战要求时的概率；woi为武器系统第o个作战单元对第i个目标区域的火力打击时的可靠性；eoi为武器系统第o个作战单元对第i个目标区域火力打击时的概率。

2 基于状态转移的数量需求构模与求解

根据图1，由柯尔莫哥洛夫方程得［5－7］

考虑到PUo（t）的衡量对象是武器系统作战单元，记武器系统作战单元的数量需求函数为Q（t），由数学期望可得

显然，Q（t）要求确定PDk（t）。根据图1，PDk（t）取决于PAi（t）、PBj（t）和PC（t）。由式（1）可得（过程略）以下关系式。

1）PAi（t）。

2）PBj（t）。

3）PC（t）。

其中，记，Ψ（r）为

3 计算结果与边际效用分析

3.1 计算结果

根据式（2）～式（7），PAi（t）、PBj（t）、PC（t）、PDk（t）和Q（t）的计算结果分别对应于图2～图9。

考虑到woi的含义和eoi的条件概率本质，视woi·eoi为武器系统第o个作战单元对第i个目标区域的火力打击效能。其中，woi为服从负指数分布（λ＝1）的伪随机数，考虑到作战的一般情况，eoi的取值范围为［0.3，0.9］。

图2 火力打击效能随PA1（t）的变化

图3 火力打击效能随PAi（t）的变化（i＝2，3，…，m）

图4 火力打击效能随PB1（t）的变化

图5 火力打击效能随PBj（t）的变化（j＝2，3，…，n）

图6 火力打击效能随PC（t）的变化

图7 单侦察手段下火力打击效能随PD1（t）的变化

图8 多侦察手段下火力打击效能随PDk（t）的变化（k＝2，3，…，l）

图9 数量需求Q（t）随火力打击效能的变化

4.2 边际效用分析

依据图2～图9，就边际效用（单位数量武器系统对火力打击效能影响的变化量）而言，有如下结论。

结论1 增加武器系统数量对火力打击效能具有补偿作用，但补偿变化率是有区分的。图9所示，当火力打击效能较低时，数量的边际效用高；反之，边际效用低。因此，在数量上存在临界值。在实际作战中，应依据武器系统的数量和实时战技性能，合理确定射击任务，而不能过分强调较高的火力打击效能。

结论2 武器系统是否具备精确打击能力是数量的边际效用之分水岭。图9中各曲线的拐点之横坐标（火力打击效能）均近似为0.5。根据当前及将来火力打击所呈现出的“命中即毁伤”之特点和趋势，它在数值上也是武器系统的命中概率，这正是精确打击对命中概率的基本要求。因此，当武器系统具备精确打击能力时，数量的边际效用低；反之，边际效用高。

结论3 提高武器系统战技性能对火力打击效能具有补偿作用，但补偿变化率也是有区分的。图9所示，当武器系统作战单元的数量较少时，战技性能的边际效用高；反之，边际效用低。因此，在战技性能上存在临界值。在实际作战中，应依据射击任务的具体要求和武器系统的实时战技性能，合理确定数量，而不是一味地增加数量投入。

结论4 依据作战过程，影响火力打击效能的因素是多元、复杂的，而不仅是武器系统本身。图2～图8表明：目标出现概率、发现目标概率、指挥控制中心正常工作概率和战技性能指标符合作战要求的概率对火力打击效能均有不同程度的贡献率，这也正是体系作战的基本特征之一。因此，在装备建设中应突出体系的协调发展，突出信息系统对体系作战能力生成的影响。

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