某类正则微分系统谱的带权估计

黄振明

（苏州市职业大学 基础部，江苏苏州 215104）

某类正则微分系统谱的带权估计

黄振明

（苏州市职业大学 基础部，江苏苏州 215104）

考虑某类正则微分系统谱的带权估计，利用矩阵运算、分部积分、Rayleigh定理和不等式估计等方法，获得了用前n个谱来估计第n+1个谱的上界的不等式，其估计系数与区间的几何度量无关，其结果是文[1]的进一步推广.

正则微分系统；谱；不等式；带权估计

引言

斯图姆-刘维尔问题是物理学和力学中最常见的问题之一，有关它及类似问题的谱估计已取得了许多重要的结果[1-7]，其中文[1]给出了斯图姆-刘维尔问题谱的一种估计方法，现将文[1]中的方程进行推广，考虑如下正则微分系统

笔者运用文[2]中的方法，并且对其方法进行适当的改进和推广，考虑(1)的谱估计，为推导方便，记

则问题(1)可化为如下的矩阵形式：

根据方程理论知，问题(4)的谱是离散的，且都是正实数，设问题(4)的与之相对应的带权正交特征向即结合（3）可得

由系统(4)，利用多次分部积分法有

利用(2)和(6)得

计算可得

利用(10)有

利用(8)和(11)得

1 主要引理

证明

利用分部积分法，计算可得

又由对称性得

于是由(14)、(15)、 (16)、（2） 和（5）知

即为引理1.

由分部积分得

利用（5），从（18）、（19）可知

利用Schwarz不等式、（20）和(7)得

即得引理2.

2 主要结果

利用(20)和Young不等式有

为了使（26）右端的值达到最小，取

将（27）代入（26）有

由引理1、（25）和（28）得

选择使（29）右端等于零，即

3 结语

本文推广了斯图姆-刘维尔问题谱的估计，考虑正则微分系统（1）的谱估计，获得了用前n个谱来估计第n+1个谱的上界的不等式，其估计系数与区间的几何度量无关，文[1]讨论的问题是本文问题当时的特例，因此本文的结果是文[1]的进一步推广，在物理学和力学等领域中有一定的参考价值[8].

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Weighted Estimation of Spectra for Some Kind Regular Differential System

HUANG Zhen-ming
(Department of Basic Courses, Suzhou Vocational University, Suzhou 215104, China)

This paper considers weighted estimation of spectra for some kind differential regular system.The inequality of the upper bound of the (n+1)th spectrum is estimated from the former n spectra by using matrix operation, integration by parts, Rayleigh theorem and inequality estimation.The estimate coefficients do not depend on the measure of the domain in which the problem is concerned.The result in [1] is the corollary to the theorems in this paper.

regular differential system; spectrum; inequality; weighted estimation

O175.1

A

1008-9128（2012）04-0011-05

2011-06-15

黄振明（1962-），男，江苏苏州人，副教授.研究方向：微分算子谱的估计.

[责任编辑 张灿邦]