随机矩阵的范数

任芳国，高 莹

（陕西师范大学数学与信息科学学院，陕西，西安 710062）

随机矩阵的范数

任芳国，高 莹

（陕西师范大学数学与信息科学学院，陕西，西安 710062）

利用随机矩阵的特性及不等式的性质，讨论了n阶随机矩阵的范数，获得了随机矩阵1－范数，2－范数，∞－范数及p－范数的不等式，且给出了1－范数，2－范数及p－范数达到界值的充分必要条件，为随机矩阵的应用奠定了数学基础.

随机矩阵；双随机矩阵；1－范数；2－范数；p－范数

非负矩阵在矩阵论中占据重要的地位，随机矩阵作为特殊的非负矩阵有着广泛的应用，如markor链、多元统计理论的研究以及经济学（如对股票市场的分析）、运筹学等领域数学模型的研究［1－5］.本文将从范数的角度去刻画随机矩阵，得到了随机矩阵范数不等式，并获得取得界值的充分必要条件，对进一步研究随机矩阵张量积的范数有一定的作用［6］.

1 预备知识

文中使用以下记号：

用Cn，Mn（C）分别表示复数域上所有n维向量及所有n阶矩阵组成的线性空间；

设A∈M n（C），用ρ（A）表示矩阵谱半径；

AT，A＊分别表示矩阵A的转置及共轭转置；

A≥0表示非负矩阵；

若A－B≥0，记为A≥B.其余未加说明的术语及记号均同文献［1］.

为了叙述及证明主要定理方便起见，引入以下定义及引理.

定义1.1［1－3］称一个n阶非负矩阵A为随机矩阵，如果A的所有行和为1.

定义1.2［1－3］称一个n阶非负矩阵A为双随机矩阵，如果A的所有行和与列和都为1.

2 主要结果及证明

［1］HORN R A，JOHNSON C R.Matrix analysis［M］.Cambridge：Cambridge University Press，1986：487－529.

［2］HENRY MINC.Nonnegative matrices［M］.New York：Wiley－Interscience Publication，1988：1－47，105－140.

［3］BERMAN A，PLEMMONS R.Nonnegative matrices in the mathematical sciences［M］.New York：Academic Press，1994：26－59，211－268.

［4］HORN R A，JOHNSON C R.Topic in matrix analysis［M］.Cambridge：Cambridge University Press，1991：134－231.

［5］石月岩，宓颖，李树有.正态随机矩阵的MTP2性质［J］.东北师大学报：自然科学版，2011，43（1）：25－29.

［6］宋彩芹，陈果良.三矩阵左半张量积的（T，S，2）逆的反应序集［J］.东北师大学报：自然科学版，2010，42（2）：11－15.

Norms of stochastic matrices

REN Fang－guo，GAO Ying
（College of Mathematics and Information Science，Shanxi Normal University，Xi'an 710062，China）

The norm of stochastic matrix by using the characteristics of stochastic matrix and the properties of inequality is studied.The bounds of∞－norm，1－norm，2－norm andp－norm about stochastic matrix are obtained and the sufficient and necessary conditions are given when those bounds are attained.Consequently，these results can establish the mathematics foundation for the application of stochastic matrix.

stochastic matrix；doubly stochastic matrix；1－norm；2－norm；p－norm

O 151.21

110·2110

A

1000－1832（2012）01－0028－04

2010－09－04

国家自然科学基金资助项目（10571113）；陕西省自然科学基金资助项目（2011JM1007）.

任芳国（1969—），男，博士，副教授，主要从事矩阵论研究.

陶 理）