弱向量变分不等式间隙函数的二阶稳定性分析

翟 佳，陈 桃

（1.重庆大学经济与工商管理学院，重庆 400030；2.云南广播电视大学开放教育学院，云南昆明 650223）

弱向量变分不等式间隙函数的二阶稳定性分析

翟 佳1，陈 桃2

（1.重庆大学经济与工商管理学院，重庆 400030；2.云南广播电视大学开放教育学院，云南昆明 650223）

利用稳定性研究的思想，探讨了弱向量变分不等式间隙函数的二阶相依导数的闭性和下半连续性，并对其结论进行了实例说明.

弱向量变分不等式；稳定性分析；间隙函数；二阶相依导数

1 预备知识

稳定性分析对于最优化问题而言不仅具有理论意义，而且具有实际应用价值.稳定性分析也叫做定性分析，即对一族含参优化问题的扰动映射的各种连续性进行研究.文献［1］对集值映射以及目标空间中的扰动映射的一阶相依导数的连续性做出了很好的讨论.文献［2］研究了相对映射芽通用开折的唯一性和稳定性.向量变分不等式是研究向量优化问题的有力工具，而间隙函数又是研究向量变分不等式的重要手段.文献［3］研究了弱向量变分不等式间隙函数的二阶可微性和灵敏性.但目前还没有文章对间隙函数的稳定性进行研究，故我们在文献［3］的基础上，利用文献［1］中稳定性研究的思想，对向量变分不等式中间隙函数的二阶相依导数的闭性和下半连续性展开了进一步的讨论，并举例加以说明.

本文中，设L（Rn，Rm）是从Rn到Rm的所有线性连续算子所组成的集合，并设K是Rn的一个子集，我们分别用intK和clK表示K的拓扑内部和拓扑闭包.对任意l∈L（Rn，Rm），我们引入范数‖l‖L＝sup｛‖l（x）‖｜‖x‖≤1｝.因为Rm是有限维的，所以赋有以上范数的Banach空间L（Rn，Rm）也是有限维的.用R＋和R＋＋分别表示非负实数集和正实数集.设G：Rn→2Rm是一集值映射，G的域和图分别记为：

ψ1和ψ2分别被称为F在点x处的Fréchet导数和二阶Fréchet导数，分别记为▽F（x）和▽2F（x）.如果对于任意的x∈Rn向量值函数F在点x处是二次Fréchet可微的，则称F在Rn上是二次Fréchet可微的.显然，▽F（·）：Rn→L（Rn，L（Rn，Rm））和▽2F（·）：Rn→L（Rn×Rn，L（Rn，Rm））都是向量值函数，其中L（Rn，L（Rn，Rm））表示所有从Rn到L（Rn，Rm）的线性连续算子所组成的集合，L（Rn×Rn，L（Rn，Rm））表示所有从Rn×Rn到L（Rn，Rm）的线性连续算子所组成的集合.

2 弱向量变分不等式的二阶稳定性

［1］LI S J.Sensitivity and stability for contingent derivative in multiobjective optimization［J］.Mathematica Applicata，1998，11（2）：49－53.

［2］郭瑞芝，刘林.相对映射芽通用开折的唯一性和稳定性［J］.东北师大学报：自然科学版，2011，43（3）：32－38.

［3］LI M H，LI S J.Second－order differential and sensitivity properties of weak vector variational inequalities［J］.J Optim Theory Appl，2010，144（1）：76－87.

［4］JAHN J，KHAN A A，ZEILINGER P.Second－order optimality conditions in set optimization［J］.J Optim Theory Appl，2005，125：331－347.

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［7］WANG Q L，LI S J.Higher order sensitivity analysis in nonconvex vector optimization［J］.Journal of Industrial and Management Optimization，2010，6（2）：381－392.

Second－order stability analysis of gap functions for weak vector variational inequalities

ZHAI Jia1，CHEN Tao2
（1.College of Economics and Business Administration，Chongqing University，Chongqing 400030，China；2.Institute of Open Education，Yunnan Radio and TV University，Kunming 650223，China）

In this paper，the closeness and lower semiconuity of second－order contingent derivatives of gap functions is studied in weak vector variational inequalities.Finally，one example is given to illustrate the result.

weak vector variational inequalities；stability analysis；gap function；second－order contingent derivative

O 224

110·7480

A

1000－1832（2012）01－0019－04

2010－11－05

国家自然科学基金资助项目（1107126／A011201）；中央高校基本科研业务费资助项目（CDJXS10100022）.

翟佳（1983—），女，博士研究生，主要从事决策优化的理论、方法及其应用研究.

陶 理）