圈C3的(r1，r2，r3)－冠都是优美的

吴跃生

(华东交通大学基础科学学院，江西南昌 330013)

圈C3的(r1，r2，r3)－冠都是优美的

吴跃生

(华东交通大学基础科学学院，江西南昌 330013)

讨论了圈C3的(r1，r2，r3)－冠的优美性，用构造性的方法给出了圈C3的(r1，r2，r3)－冠的优美标号.证明了圈C3的(r1，r2，r3)－冠都是优美的.

圈;冠;优美图

0 引言

本文所讨论的图均为无向简单图，V(G)和E(G)分别表示图G的顶点集和边集.

定义1［1］在图G每个顶点都粘接了r条悬挂边(r≥1的整数)所得到的图，称为图G的r－冠.图G的

1 －冠称做图G的冠.

定义2［2-12］V(G)=(v1，v2，…，vn)的每个顶点vi都粘接了ri条悬挂边(ri≥0的整数，i=1，2，…，n)所得到的图，称为图G的(r1，r2，…，rn)－冠，简记为G(r1，r2，…，rn).特别地，当r1=r2=…=rn=r时，称为图G的r－冠.图G的0－冠就是图G.

定义3［1］对于一个图G=(V，E)如果存在一个单射θ:V(G)→{0，1，2，…，E(G)}使得对所有边e=(u，v)∈E(G)，由θ'(e)=θ(u)－θ(v)导出的E(G)→{1，2，…，E(G)}是一一对应，则称G是优美图，θ是G的一组优美标号，称θ'为G的边上的由θ导出的诱导值.

文献［1］证明了图P1∨Pn的优美性以及图P1∨Pn的r－冠的优美性，并猜想:任意优美图的r－冠都是优美图.根据此猜想，文献［13］－［14］证明了圈Cn(n≡0，3(mod 4))的r－冠是优美的，文献［2］－［7］讨论了当n=3，7，8，11，4 h，4h+3时，圈Cn的(r1，r2，…，rn)－冠的优美性.文献［8］－［11］讨论了一些图ωn，m的(r1，r2，…，rn+m－1)－冠的优美性.文献［12］、［15］、［16］讨论了当n=3，4，5，6时Cn⊙k1的(r0，r1，r2，…，rn)－冠的优美性.本文讨论了圈C3的(r1，r2，r3)－冠的优美性.

1 主要结果及其证明

定理1设V(C3)=(v1，v2，v3)，与vi邻接的端点(或叶)记为xi，j(vi∈V(C3)，j=1，2，…，ri)，r1，r2，r3为任意自然数，圈C3的(r1，r2，r3)－冠都是优美的.

证明不妨设r2≥r3，定义圈C3的(r1，r2，r3)－冠的顶点标号θ为:

当rj=0时，xj，i=vj，j=1，2，3，i=1，2，…，rj，

(1)当r2＞r3时

容易验证，θ':E(C3(r1，r2，r3))→{1，2，…，3+r1+r2+r3}是一一对应.

因此θ是圈C3的(r1，r2，r3)－冠的优美标号.即圈C3的(r1，r2，r3)－冠是优美图.

在定理1中，令r1=r2=r3=0，有

推论1C3的0－冠即圈C3是优美图.

在定理1中，令r1=r2=r3=r，有

推论2圈C3的r－冠是优美图.

例1根据定理1，可以给出圈C3的(3，7，7)－冠的两种优美标号(图1、图2).

［1］马杰克.优美图［M］.北京:北京大学出版社，1991.

［2］吴跃生，李咏秋.关于圈Cn的(r1，r2，…，rn)－冠(n=7，8)的优美性［J］.阜阳师范学院学报:自然科学版，2010，27(3):20－23.

［3］吴跃生，李咏秋.关于圈C11的(r1，r2，…，r11)－冠的优美性［J］.长春师范学院学报，2010，29(6):4－8.

［4］吴跃生，李咏秋.再探圈Cn的(r1，r2，…，rn)－冠(n=7，8)的优美性［J］.阜阳师范学院学报:自然科学版，2010，27(4):1－4.

［5］吴跃生，李咏秋.关于圈C3的(1，2a，2a+1)－冠的优美性［J］.河南教育学院学报:自然科学版，2010，19(4):1－2.

［6］吴跃生.关于圈C4h的(r1，r2，…，r4h)－冠的优美性［J］.华东交通大学学报，2011，28(1):77－80.

［7］吴跃生，李咏秋.关于圈C4n+3的(r1，r2，…，r4n)－冠的优美性［J］.吉首大学学报:自然科学版，2011，32(6):1－4.

［8］吴跃生，李咏秋.关于图ω4，4的(r1，r2，…，r7)－冠的优美性［J］.宜春学院学报，2010，32(12):1－3.

［9］吴跃生，李咏秋.关于图ω5，7的(r1，r2，…，r11)－冠的优美性［J］.嘉应学院学报，2011，29(5):5－8.

［10］吴跃生，李咏秋.关于图ω5，6的(r1，r2，…，r10)－冠的优美性［J］.北京联合大学学报，2011，25(2):60－6.

［11］吴跃生.关于图ω4，6的(r1，r2，…，r9)－冠的优美性［J］.宜春学院学报，2011，33(8):1－3.

［12］康芳茂，吴跃生.关于C6⊙k1的(r0，r1，r2，…，r6)－冠的优美性［J］.怀化学院学报，2011，30(5):8－10.

［13］陈淑贞.关于回路的r－冠的优美性.海南师范学院学报，1997，10(1):29－31.

［14］胡红亮.图Cn及其r－冠的新的优美标号［J］.纯粹数学与应用数学，2010，26(3):454－457.

［15］康芳茂，吴跃生.关于Cn⊙k1的r0(r0，r1，r2，…，rn)－冠(n=3，4)的优美性［J］.赣南师范学院学报，2011，32(6):25－27.

［16］吴跃生，李咏秋.关于Cn⊙k1的(r0，r1，r2，…，rn)－冠(n=5)的优美性［J］.喀什师范学院学报，2011，32(6):11－12.

The(r1，r2，r3)－Corona of Cycle C3Is Graceful

WU Yue-sheng

(School of Basic Science，East China Jiaotong University，Nanchang 330013，China)

The gracefulness of the(r1，r2，r3)－corona of the cycle C3is discussed.The graceful labeling is given.It is also proved that the(r1，r2，r3)－corona of the cycle C3is graceful.

cycle;corona;graceful graph

O157.5

A

1007－0834(2012)01－0015－02

10.3969/j.issn.1007－0834.2012.01.005

2011－12－26

国家自然科学基金(11061014);江西省自然科学基金(20114BAB201010);华东交通大学校立科研基金(11JC05)

吴跃生(1959—)，男，江西瑞金人，华东交通大学基础科学学院副教授，主要研究方向:图论.