利用导数研究正态分布的概率密度函数性质

王康

(吕梁学院汾阳师范分校，山西汾阳 032200)

利用导数研究正态分布的概率密度函数性质

王康

(吕梁学院汾阳师范分校，山西汾阳 032200)

从正态分布的概率密度函数入手，利用导数研究函数，推导正态分布的大致图像和基本性质.关键词:正态分布;导数;概率密度函数;函数图像;函数性质

正态分布在实际中存在广泛，在概率统计的理论与应用中更是起着非常重要的作用，在各种分布中居于首要地位.因此，学生学好正态分布也至关重要.在多数概率论教材中都是给出正态分布的定义后直接给出密度函数的图像，并由图像得出相关性质［1］.学生所做的仅仅是机械地记忆，对图像及性质只知其然不知其所以然，更谈不上主动探索.

下面就由正态分布的密度函数出发，利用导数研究函数的图像与性质，而这些推导方法都是建立在学生已有的高等数学基本知识的基础之上的［2］.这样既可以培养学生利用所学知识解决新问题的研究性学习能力，又可以培养学生严密的思维能力与严谨的学习态度.

已知正态分布的概率密度函数

可引导学生把它看做一个普通的函数，从而利用导数研究函数图像，下面是一般的研究步骤.

(1)求值域显然f(x)＞0，即值域为(0，+∞)，整个图像位于x轴上方.

(2)求单调性与极值先求函数的一阶导数f'(x)，

至此，正态函数的大致图像已经完全可以由学生画出，那么其性质就可以让学生自己总结了.图形形状及性质都是一目了然的，而有关正态变量的分布函数以及各区间内的概率问题，均可由密度函数的图像给出推导和解释.比如“3σ原则”，由图像解释是非常直观清晰的.又如，参数μ，σ对图像的影响:μ决定位置，由第(3)步对称性可得到，σ决定图像的陡峭程度，由第(2)步极值点的推导可得到，那么μ，σ鲜明的概率意义(μ为均值，σ2为方差)，也由图像可得到很直观的解释.

这种由函数本身出发，利用高等数学知识引导学生自己推导、体验的教学方法能使学生学习知识更加连贯，理解知识更加深刻，从而培养学生严谨的治学态度，勤奋的学习作风，灵活的应用能力，使得数学的思想得到真正贯彻.

［1］吴坚.应用概率统计［M］.北京:高等教育出版社，2007.

［2］华东师范大学数学系.数学分析［M］.北京:高等教育出版社，2001.

Research the Property of Normal Density Function by Derivatives

WANG Kang

(Fen Yang Teachers’School，Lvliang College，Fenyang 032200，China)

The rough image and nature of normal distribution is inferred by the normal distribution probability density function，solving function by derivatives.

normal distribution;derivatives;probability density function;image of function;property of function

O211.1

A

1007－0834(2012)02－0031－02

10.3969/j.issn.1007－0834.2012.02.009

2012－02－01

王康(1982—)，男，山西芮城人，吕梁学院汾阳师范分校教师.